Критериальные уравнения конвективного теплообмена

Конвективный теплообмен описывается дифференциальными уравнениями сплошности, движения, теплопроводности и условиями однозначности. Воспользовавшись ими, попытаемся получить критериальное уравнение, позволяющее, например, вычислять коэффициент теплоотдачи от потока, движущегося внутри канала.

Величина коэффициента является функцией:

(2.5)

В уравнении (2.5) заменим коэффициент динамической вязкости на коэффициент кинематической вязкости , а произведение величин и будем считать самостоятельными величинами. Тогда

(2.6)

Вывод уравнения произведем путем применения теории размерности.

Имеем: –Дж/(м²с ^оС); –м/с; – Дж/(м^{3 о}С); – Дж/(м с ^оС); – м²/с, –м; d –м; – м/(с^{2 о}С); – ^оС.

В уравнение (2.6) входит 9 размерных величин, размерность которых образована 4 единицами измерения: Дж, м, с, ^оС, т.е. N=9, а k =4. Тогда на основании –теоремы можно предположить, что данное критериальное уравнение будет содержать 5 критериев, так как N– k =5.

Перейдем к новой системе единиц измерения, в которой единица измерения теплоты в К раз меньше Дж, единица длины в L раз меньше метра, единица времени в раз меньше секунды, а единица измерения температуры в Т раз меньше ^оС.

Получим новую систему единиц:

Дж/K, м/L, c/ , ^оС/T.

В выбранной системе единиц измерения все физические величины, входящее в уравнение (2.6), получат новые численные значения, которые обозначим также, но со штрихом.

(2.7)

С учетом масштабных преобразований вычислим значения величин, входящих в уравнение (2.7).

,

Подставив в уравнение (2.7) значения этих величин, получим уравнение (2.8).

(2.8)

Уравнение (2.8) не должно зависеть от коэффициентов масштабных величин K, L, T. Произвольно можно принять, что K= 0, 01, = 0, 02 и т.д. Можно выбрать эти коэффициенты так, чтобы выполнялись условия:

Тогда

После подстановки величин L, T, и К в уравнение (2.8) получим:

или

Nu (2.9)

Уравнение (2.9) и представляет собой критериальное уравнение конвективного теплообмена.

Здесь Nu = –критерий Нуссельта; Re = –критерий Рейнольдса;

Pr= –критерий Прандтля; Gr = –критерий Грасгофа; Ho –критерий геометрического подобия.

Рассмотрим физический смысл критериев, входящих в уравнение (2.9).

Критерий Нуссельта

Если представить слой жидкости или газа толщиной d, то на основ стационарной теплопроводности величину можно определить из выражения:

Вт/м².

С другой стороны имеем по закону Ньютона–Рихмана:

Вт/м²,

где –температурный напор.

При одной и той же величине температурного напора значения удельного теплового потока , определенные по обоим уравнениям, могут быть различными. Поэтому критерий Нуссельта характеризует увеличение теплоотдачи в результате движения потока по сравнению с передачей теплоты чистой теплопроводностью. Если Nu=1, то удельный тепловой поток, передаваемый стенке конвекцией, будет равен удельному тепловому потоку, передаваемому за счет теплопроводности.

Критерий Рейнольдса

Re =

Числитель представляет собой силу инерции, а знаменатель силу трения. Поэтому критерий Рейнольдса по физическому смыслу характеризует собой соотношение между силами инерции и силами трения в движущемся потоке.

Критерий Прандтля

Pr=

В числитель входит , а в знаменатель – . Величина –характеризует процесс молекулярного переноса жидкости или газа за счет сил внутреннего трения. При этом чем больше , тем сильнее тормозится слой потока, движущийся с большей скоростью. И он сообщает большее ускорение соседним слоям, движущимся с замедленной скоростью. Поэтому перенос импульса количества движения от одного слоя к другому осуществляется за счет разности скоростей.

Коэффициент характеризует способность тела передавать теплоту теплопроводностью. Перенос же теплоты от одних слоев жидкости или газа к другим обусловлен разностью температур. Следовательно, величина критерия Прандтля определяет собой соотношение между полем скорости и полем температур движущегося потока.

Для газов значение критерия Прандтля почти не зависит от температуры, а определяется лишь атомностью газа. Для одноатомных газов Pr 0, 67; для двухатомных газов Pr 0, 73; для трехатомных газов Pr 0, 80.

Критерий Грасгофа

С целью выяснения физического смысла критерия преобразуем его выражение

Gr = .

Для этого значение подставим в выражение, определив его из критерия Рейнольдса. Кроме того, числитель и знаменатель умножим на .

Gr = .

Числитель представляет собой подъемную силу, а знаменатель силу инерции движущегося потока. Следовательно, критерий Грасгофа определяет соотношение между этими силами, отнесенными к единице объема движущегося газа или жидкости.

Критерий геометрического подобия особого физического смысла не имеет. Он имеет значение только при вынужденном конвективном теплообмене.

Очевидно, что в зависимости от соотношения всех рассмотренных сил, а также и от того, какая сила будет имеет наибольшее значение, будут использоваться и различные расчетные уравнения. В зависимости от конкретных условий будет меняться и форма критериального уравнения.

Так, для свободного конвективного движения в критериальном уравнении будут отсутствовать критерии Re и Но, так как отсутствует вынужденное движение. Тогда

В вынужденных турбулентных потоках влияние на теплообмен сил внутреннего трения, а также и подъемных сил будет незначительным. Поэтому можно пренебречь критерием Грасгофа, т.е.

В вынужденных высокотемпературных ламинарных потоках подъемные силы будут оказывать на коэффициент главное влияние.

Nu

В ряде случаев с целью сокращения количества переменных пользуются произведением критериев и . Это произведение называют критерием Пекле Pe.