Числовые операции примитивного человека

Самым ярким примером развития мышления у примитивного человека и зависимости этого развития от совершенствования высших знаков, на которые оно опирается и при помощи кото­рых оно совершается, является исследование числовых операций примитивного человека. У многих примитивных народов не су­ществует счета дальше двух или трех.

Отсюда, однако, было бы неправильно заключать, что они не умеют считать больше чем до трех. Это означает только, что у них отсутствуют абстрактные понятия, простирающиеся дальше этих чисел. Они не умеют пользоваться теми операциями, кото­рые свойственны нашему мышлению, говорит Леви-Брюль, но «путем операций, которые свойственны им, они умеют достигнуть до определенного предела тех же самых результатов».

Эти операции больше опираются на память. Примитивные лю­ди считают другим способом, чем мы, — способом конкретным, и в этом конкретном способе счета примитивный человек опять-таки превосходит культурного. Иначе говоря, исследование процессов счета у примитивного человека открывает, что и в этом отноше­нии, как и в отношении памяти и речи, примитивный человек не только беднее, но в известном смысле и богаче человека культур­ного. Правильнее поэтому было бы здесь говорить не о количест­венном различии, но о качественно ином способе счета примитивного человека.

Если мы хотим в одном слове охарактеризовать своеобразие процессов счета у примитивного человека, можно сказать, что у него развита по преимуществу натуральная арифметика. Счет его опирается на конкретное восприятие, на естественное запомина­ние, на сравнение. Он не прибегает к техническим операциям, созданным культурным человеком в помощь своему счету. Если мы не считаем иначе, как при помощи чисел, мы готовы допу­стить, что тот, у кого нет чисел больше 3, не умеет и считать больше 3. «Но разве мы должны допустить, что нельзя достиг­нуть тех же результатов другим путем, — спрашивает Леви-Брюль, — разве невозможно, что примитивный ум имеет свои операции и свои особенные процессы, чтобы достигнуть таких же самых целей, каких мы достигаем нашей нумерацией?» Примитив­ный человек воспринимает группу предметов с количественной стороны. В данном случае количественный признак выступает как известное непосредственно воспринимаемое качество, которым дан­ная группа отличается от других групп. И по внешнему виду примитивный человек может судить, полна она или неполна.

Надо сказать, что это непосредственное восприятие количеств может быть обнаружено и у культурного человека, главным обра­зом в области восприятия упорядоченных количеств. Если в музы­кальном произведении исполнитель опустил бы один такт или в стихотворной поэме кто-нибудь вздумал бы украсть один слог, мы сейчас же, не прибегая к счету, на основании непосредственного восприятия ритма заключили бы, что в данном случае недостает одного такта или одного слога. Лейбниц на этом основании назы­вал музыку бессознательной арифметикой.

Нечто подобное происходит у примитивного человека тогда, когда он воспринимает различные по количеству группы предме­тов. 12 яблок, например, по непосредственному впечатлению отли­чаются от группы в 3 яблока. Различие между двумя этими количествами может быть воспринято путем конкретным, без вся­кого счета. Это нисколько не удивляет нас, и в этом отношении мы обладаем такой же способностью на глаз судить, какая из двух групп предметов больше.

Что поражало обычно исследователей, так это тонкая дифференцировка, которой достигает примитивный человек в этом ис­кусстве. Исследователи рассказывают, что, основываясь на необыкновенной памяти, примитивный человек утончает это не­посредственное восприятие количеств в величайшей степени. Он замечает, сличая наличные впечатления с образом памяти, если в какой-нибудь большой группе недостает одного предмета.

Добрицгофер говорит о примитивах, что «они не только не знают арифметики, они ее избегают; их память, вообще, состав­ляет их недостаток; они не хотят считать, это им причиняет ску­ку». Когда они возвращаются с охоты за дикими лошадьми, никто их не спрашивает: «Сколько вы привели?» Вопрос ставят так: «Сколько места займет тэбун лошадей, которых вы приве­ли?»

Когда примитивы собираются на охоту, они одним взглядом окидывают своих многочисленных собак и тотчас замечают, ес­ли не хватает одной из них. Точно так же примитивный че­ловек замечает, если в стаде в несколько сотен животных не хватает одного животного. Эта точная дифференцировка, в сущ­ности говоря, представляет собою дальнейшее развитие того же самого непосредственного восприятия количеств, которое мы за­мечаем и у себя.

Если отличить группу в 12 яблок от группы в 3 яблока так же легко, как отличить красный цвет от синего, то отличить ста­до в 100 голов от стада в 101 голову так же, скажем, трудно, как отличить один оттенок синего цвета от другого оттенка того же цвета, чуть-чуть более темного. Однако принципиально это та

же самая операция, только доведенная упражнением до большей дифференцировки.

Любопытно отметить, что и современный культурный человек вынужден возвращаться к этому зрительному конкретному воспри­ятию количеств там, где он хочет наглядно и ярко пережить раз­личие между какими-нибудь количествами. В этом смысле прав Вертгеймер, когда говорит, что натуральная арифметика прими­тивных народов, как и весь их способ мышления, дает одновре­менно и больше, и меньше, чем наши: меньше — потому что известные операции оказываются для примитивного человека вовсе не доступными и возможности его в этой области значительно бо­лее ограниченны, чем наши; больше — потому что это мышление движется все время в сфере действительности, оно лишено абст­ракции, оно непосредственно передает живую контрастную ситуа­цию, и часто, как у нас в практической жизни и в искусстве, эти конкретные образы оказываются гораздо более действительны­ми, чем абстрактные представления.

Когда современный пацифист хочет дать живое представление о том, как много людей убивают на войне, когда он хочет заста­вить прочувствовать это, он переводит абстрактный арифметиче­ский итог в новые конкретные, хотя и искусственно созданные, представления. Он говорит: если трупы убитых на войне поло­жить рядышком плечо к плечу, они займут расстояние от Влади­востока до Парижа. Этой наглядной картиной он хочет дать непосредственно ощутить, как в зрительном восприятии, огром­ность этого количества.

Так точно, когда мы в обычной диаграмме пытаемся предста­вить самую простую вещь, например сколько мыла потребляют в Китае и в Германии, мы для этого рисуем огромного китайца и маленького немца, что символизирует, во сколько раз население Китая больше немецкого; под ними мы рисуем один маленький и другой огромный кусок мыла, и вся эта картина, вся эта диаг­рамма непосредственно говорит нам гораздо больше, чем отвлечен­ные арифметические данные. Вот такими картинами, образными способами и пользуется натуральная арифметика примитивного че­ловека.

Леви-Брюль говорит об отношении примитивных народов к на­шим числам: это инструмент, в котором они не чувствуют надоб­ности и употребления которого они не знают, Им нечего делать с числом по отношению к множествам, которые они умеют счи­тать совсем другим путем.

Эта конкретность или образность примитивного счета про­является в целом ряде особенностей. Если примитив хочет обозначить 3 или 5 человек, он не называет сумму людей, го-

ворит Турнвальд, а называет по имени каждого, кого знает лично; если он не знает имени, он перечисляет по какому-ни­будь другому конкретному признаку, например так: человек с большим носом, старик, ребенок, человек с больной кожей и один маленький ждут — все это вместо того, чтобы сказать: пришли пять человек.

Множество воспринимается первоначально как образ какой-ни­будь картины. Образ и количество еще срослись в один комплекс. Вот почему, как мы указывали выше, абстрактный счет для при­митивного ума оказывается невозможным, он считает только до тех пор, пока его счет кажется ему связанным с действительно­стью. Числительное у примитивных народов поэтому всегда есть имя, которое обозначает нечто конкретное, это числовой образ или форма, употребляемая как символ для известного множества. Очень часто при этом речь идет просто о вспомогательных при­емах памяти.

Решающим, однако, оказывается не это, а то, в каком направ­лении идет развитие счета у примитивного человека. Это разви­тие идет не по линии дальнейшего усовершенствования натуральной арифметики, а по тому же пути, по которому идет развитие памяти и развитие мышления у примитивного человека, именно по пути создания особых знаков, при помощи которых натуральная арифметика перерастает в арифметику культурную.

Правда, у примитивных народов и это употребление знаков носит еще чисто конкретный и наглядно-зрительный характер. Простейшим способом счета у примитивного человека являются части тела, которые он сопоставляет с той или иной группой предметов. Таким образом, примитивный человек на высшей сту­пени своего развития уже не просто схватывает известную группу предметов глазом, а он уже сопоставляет в количественном отно­шении данную группу с другой группой, например со своими пятью пальцами. Он сравнивает в одном определенном отноше­нии, именно в отношении количества, группу предметов, подлежа­щих счету, с каким-нибудь орудием счета.

В этом смысле примитивным человеком сделан важнейший шаг к абстракции и важнейший переход на совершенно новые пути развития. Однако пользование новым орудием вначале остается еще чисто конкретным. Примитивные люди считают и здесь часто зрительным способом. Они касаются по порядку всех пальцев, ча­стей руки, плеча, глаз, носа, лба, потом тех же членов своего тела с другой стороны и приравнивают таким образом чисто зри­тельным путем количество каких-нибудь предметов к членам сво­его тела, отсчитываемым в определенном порядке.

Ш

Здесь еще тоже нет числительных в собственном смысле этого слова. Здесь, как замечает Леви-Брюль, дело идет о конкретной операции, об операции памяти, чтобы с ее помощью определить данное множество. По мнению Хедона, эта система употребляется как вспомогательное орудие для счета. Ею пользуются так же, как пользуются веревкой с узлами, а вовсе не как рядом насто­ящих чисел. Это скорее мнемонический прием, чем числовая опе­рация. Здесь нет еще ни имени числительного, ни числа в собственном смысле слова. Леви-Брюль обратил внимание на то, что при таком счете одно и то же слово может означать различ­ные количества: например, в Новой Гвинее слово «ано» («шея») служит одновременно для обозначения 10 и 14.

Точно так же и у других народов слова, обозначающие палец, плечо, руку, обозначают различные количества в зависимости от того, отмечаются они в процессе счета на правой или на левой стороне. Из этого автор заключает, что эти слова отнюдь не обозначают числа. «Как, — спрашивает он, — то же самое слово «доро» могло бы служить знаком для 2, 3, 4 и для 19, 20, 21, если бы оно не было определено жестом, который одновременно указывает один из трех пальцев правой руки или один из тех же самых пальцев левой руки?»

Приведем один замечательный пример, рассказанный Бруком, относительно того, как туземец на Борнео пытался запомнить данное ему поручение. Ему надо было обойти 45 деревень, вос­ставших и покоренных, и сообщить им суммы штрафа, которые они должны заплатить. Как он взялся за это поручение? Он при­нес несколько сухих листьев, которые разделил на кусочки. Его начальник заменил их бумагой. Он разложил кусочек за кусочком на столе, пересчитывая их одновременно на пальцах рук. Потом он положил ногу на стол и стал считать на пальцах ног дальней­шие кусочки бумаги, из которых каждый служил знаком для имени деревни, имени ее начальника, числа ее воинов и суммы штрафа. Когда он исчерпал пальцы ног, он вернулся к пальцам рук. В конце счета оказалось 45 кусочков бумаги, разложенных на столе.

Он попросил снова повторить ему поручение, что и было сде­лано. В это время он пробегал рукой по своим кусочкам бумаги и перебирал свои пальцы рук и ног, как и прежде. «Вот наше письмо, — сказал он, — вы, белые, не умеете читать так, как мы». Поздно вечером он все повторил точно, кладя палец на каждый кусок бумаги в отдельности. Он сказал: «Ну, если я завтра утром вспомню, все будет хорошо, оставим эти бумажки на столе». Затем он смешал бумажки в кучу. Наутро он разло­жил бумажки в том же порядке, как накануне, и повторил все

детали с совершенной точностью. В течение месяца, переходя из деревни в деревню, в глубине страны, он не забыл ни одной из всех этих различных сумм.

«Подстановка кусочков бумаги, — замечает Леви-Брюль, — вместо пальцев рук и ног особенно замечательна. Она нам пока­зывает совершенно чистый случай еще вполне «конкретной абст­ракции», которая свойственна дологической мысли». И в самом деле, трудно представить пример, более разительно показывающий существеннейшую разницу между запоминанием человека и между запоминанием животного. Примитивный человек, стоящий перед задачей, превосходящей естественные силы его памяти, прибегает к бумаге, прибегает к пальцам, к созданию внешних знаков.

Он пытается воздействовать на свою память извне. Внутренние процессы запоминания он организует извне, заменяя внутренние операции внешней деятельностью, которая наиболее легко поддает­ся его власти. Организуя эту внешнюю деятельность, он овладева­ет своей памятью при помощи знаков. В этом сказывается существенное отличие человеческой памяти от памяти животного. Вместе с тем этот пример показывает, насколько тесно операции счета связаны у примитивного человека с операциями памяти.

Рот спросил примитива, сколько пальцев у него на руках и ногах, и попросил отмечать число их линиями на песке. Тот на­чал сгибать по два пальца и для каждой пары проводил двойную черту на песке. Подобный способ употребляют старшины племен, для того чтобы сосчитать людей. В этом мы видим косвенный ин­струментальный путь, для того чтобы при помощи знаков соста­вить себе представление о количестве. Переход от натуральной арифметики, основанной на непосредственном восприятии коли­честв, к опосредованной операции, совершающейся при помощи знаков, как видим, встречается уже на самых первых ступенях культурного развития человека.

Этот счет при помощи частей тела, эта конкретная нумерация постепенно становится полуабстрактной-полуконкретной и составля­ет первую ступень нашей арифметики. «Нельзя сказать, — гово­рит Хедон, — что «набигет» — это имя числа пять. Оно означает только, что предметов есть столько, сколько есть паль­цев на руке». В основе такого счета лежит, следовательно, мол­чаливое образное или картинное сравнение, мануальное или — по выражению этого автора — визуальное понятие, без которого развитие примитивных числовых операций было бы непонятно.

Это образное происхождение числовых обозначений обнаружи­вается в том, что примитив имеет тенденцию считать не по единице, а группами самыми различными, например двойками, четверками, пятерками и т. д. Вот почему, располагая часто не-

большим количеством числительных, исчерпываемых этой груп­пой, этот человек все же может считать чрезвычайно большие количества, повторяя одни и те же числительные по нескольку раз.

На тот же конкретный характер указывают существующие у многих примитивных племен различные системы счета для раз­личных предметов, например для предметов плоских и для круг­лых, для животных и для людей, для времени, для длинных предметов и т. д. Различные предметы требуют и различного сче­та. Так, например, в языке микир существуют отдельные системы счета для людей, животных, деревьев, домов, плоских и круглых предметов, частей тела. Числительное всегда есть число опреде­ленного предмета.

Остатки этого мы видим в сохранившихся еще у нас различ­ных способах счета, применяемых к различным предметам. Ка­рандаши, например, до сих пор считаются на дюжины и гроссы и т. д. Замечательны в этом отношении и те вспомогательные слова, которые употребляются многими примитивными народами при счете. Эти вспомогательные слова имеют задачей сделать на­глядными и как бы видимыми последовательные стадии арифме­тической операции. Когда, например, на подобном языке говорят «21 фрукт», это буквально звучит так: сверх 20 фруктов я кла­ду 1 на самой верхушке; когда говорят «26 фруктов», это зна­чит: сверх двух групп по 10 фруктов я кладу наверху 6.

Здесь, говорит Леви-Брюль, мы видим ту же живописующую арифметику — черту, которую мы видели в общей структуре языка.

Как бы ни казалось парадоксальным это заключение, говорит он, оно между тем истинно: в данных обществах человек считал в течение долгих веков, еще не имея чисел. Было бы ошибкой представлять, что человеческий ум построил числа для того, что­бы считать, в то время как, наоборот, люди начали считать, прежде чем сумели создать числа.

Связь числовой операции с конкретной ситуацией прекрасно поясняет Вертгеймер. Он показывает, что сами числовые образы, которыми пользуется примитивный человек, ориентированы на реальные возможности. То, что невозможно реально, то невоз­можно для них и в операциях счета. Там, где не существует никакой живой конкретной связи между вещами, там не суще­ствует для них и никакого логического отношения. Для прими­тивного человека, например, 1 лошадь + 1 лошадь = 2 лошади; 1 человек + 1 человек = 2 человека, но 1 лошадь + 1 чело­век = 1 всадник.

Вертгеймер ставит общий вопрос: как ведут себя эти люди при встающих в их жизни таких мыслительных задачах в тех случа­ях, когда мы оперируем числами? Оказывается, что подобные за­дачи перед примитивным человеком встают очень часто. При этом он оперирует на низших ступенях своего развития непосред­ственными восприятиями количества, а на высших ступенях — нумерическими образами, употребляемыми в качестве знаков или орудий, но носящими еще чисто конкретный характер.

В качестве знаков или вспомогательных орудий на ранней сту­пени выступают камешки, пальцы, палочки, из которых развива­ются впоследствии бирки (рис. 20). Наконец, когда у примитива не хватает пальцев для счета, он считает на пальцах своего то­варища, а если нужно, то приглашает и третьего товарища, при­чем иногда пальцы каждого нового товарища означают новый разряд (десяток).

В счете примитивных народов часто находим мы знаки, при­ближающиеся к римской системе. Так, например, цуни изобрета­ют при помощи узлов все числа: простой узел обозначает единицу, более сложный — пять, еще более сложный — десять.

Два значит один плюс один. Пять с предшествующим простым узлом означает четыре; пять с последующим узлом означает шесть. Эта система обозначения низшего количества через вычи­тание единицы из высшего указывает на арифметическую ориен­тировку примитивного человека на закругленные и законченные естественные группы (пальцы руки и т.п.).

Замечательный случай рассказывает один исследователь о счете примитивного человека. Этот случай проливает свет на развитие числовых систем. Примитив считает сначала на пальцах одной руки, приговаривая: «Это — один» и т.д.; при последнем пальце он прибавляет: «Одна рука». Затем он считает пальцы другой ру­ки таким же точно образом, затем пальцы ног. Если счет при этом не закончен, то при дальнейшем счете «одна рука» считает­ся как единица высшего разряда. Теперь уже, считая на пальцах рук и ног, он считает пятками, т. е. целые руки.

Эту операцию психологи вызывают чисто экспериментальным путем. Представим себе, что какой-нибудь группе культурных лю­дей мы предложим пересчитать 27 предметов, предупредив их при этом, что они, как некоторые примитивные народы, не умеют считать больше чем до пяти. Как показывают наши опыты, часть группы не решает задачу вовсе; часть решает ее, не выполнивши условия; наконец, третья часть решает ее совершенно правильно и совершенно одинаковым образом.

Они пересчитывают предметы, повторяя все время ряд от еди­ницы до пяти, затем начинают считать пятки и выражают итог следующим образом: пять пятков и два. Исследования показывают, что и наш счет по десятичной системе основан именно на таком приеме. Это всегда как бы счет в две пяти: мы считаем сами предметы и затем считаем свой счет, т. е. группы этих предметов. Так, например, когда я считаю 21, 22, 23... затем 31, 32, 33, то я фактически считаю предметы только при помощи 1, 2, 3, слова же «двадцать» и «тридцать», прибавляемые всякий раз, показывают мне, что мой счет идет в пределах второго и третьего десятков.

Экспериментальные исследования привели к чрезвычайно инте­ресному выводу, показывающему, что наша счетная система счи­тает за нас. То раздвоение внимания, которое должен осуществить примитив, считая раньше единицы предметов на пальцах руки, а потом количество рук на тех же самых паль­цах, — это самое за нас проделывает десятичная система. Поэто­му, говорят психологи, когда мы считаем, с психологической точки зрения мы не считаем вовсе, а припоминаем. Мы автома­тически пользуемся нашей числовой системой, мы воспроизводим в порядке числовой ряд и, достигнув определенного пункта, узна­ем готовый результат. То, что мы видим у взрослого культурного

человека в скрытой, автоматизированной и уже развитой форме, существует у примитивного человека еще в явной форме и в со­стоянии развития.

Любопытно отметить, что при помощи таких специфических вспомогательных средств происходит не только простой счет, но и довольно сложные арифметические операции. Вертгеймер со­общает о замечательном способе счисления, который был най­ден у курдов на русско-персидской границе. Не владея еще абстрактной операцией счета, курды умножают следующим об­разом. Числа от 6 до 10 изображаются пригибанием одного, двух, трех, пяти пальцев (подразумевается; плюс пять). Умно­жение от 5 * 5 до 10» 10 производится так, что согнутые пальцы складываются как десятки, а вытянутые умножаются как единицы.

Например, нужно умножить 7x8. На одной руке загнуто два пальца (2 + 5-7); на другой — три (3 + 5-8). Приложить одну руку к другой, сложить загнутые пальцы (2 + 3-5), умножить вытянутые — шесть единиц (2x3-6). Результат — 56.

Леруа указывает на то, что и у культурных народов встреча­ются числовые множества или нумерические образы (век, год, не­деля, месяц, эскадрон — все это нумерические образы). «Чем, — спрашивает он, — слово фиджи «кого», означающее «сто кокосо­вых орехов», более примитивно, чем слово «век», означающее «сто лет»?» У нас 10 солдат, идущих отдельно, — это 10 чело­век, а с капралом в строю — взвод: в этом примере Леруа видит аналогию с тем, что в примитивных языках число «описывает специальные обстоятельства» счета.

Основной вывод этого автора является, на наш взгляд, бес­спорным: нельзя сравнивать счисление примитивов со «счислени­ем» животных, т. е. нельзя сводить к непосредственному восприятию количеств всю примитивную арифметику. Самое ха­рактерное для этой арифметики заключается в том, что это «эм­бриональное счисление, для того чтобы перейти за определенные границы, должно всякий раз прибегать к помощи конкретной мнемотехники» (употребление пальцев, палочек). Соединение на­туральной арифметики (непосредственное восприятие количеств) с мнемотехнической составляет самую характерную черту примитив­ного счисления. Леруа справедливо сравнивает эту арифметику со счетом у неграмотных и с пользованием наглядными числами (диаграммы) у нас.

Дальнейшее развитие «культурной математики» теснейшим об­разом связано с эволюцией знаков и способов их употребления. Это приложимо не только к низшим, но и к самым высшим сту­пеням развития научной математики. Ньютон, объясняя сущность

алгебраического метода, говорил, что для решения вопросов, отно­сящихся к числам или отвлеченным отношениям величин, требу­ется только перевести задачу с английского или другого языка, на котором она предложена, на язык алгебраический, способный вы­ражать наши понятия о соотношении величин.

Эту роль знаков как орудий прекрасно отмечает Шереметьев­ский в своем очерке «История математики». «Что касается, — го­ворит он, — собственно математического анализа, то одна характерная особенность обращает его в настоящую машину мыс­ли, исполняющую ее работу с быстротой и точностью, свойствен­ной хорошо пригнанному механизму. Я говорю о приеме символического записывания всех заключений анализа с помощью алгебраического знака».

Сравнивая современную алгебру, пользующуюся этими знака­ми, с риторической алгеброй древних, этот автор приходит к за­ключению, что вся психологическая работа по решению задач перестроилась под влиянием нового способа обозначения операций. «Они были лишены, — говорит он о древних математиках, — той механизирующей рассуждение символики, которая представля­ет громадное преимущество современной алгебры. В их несимволизированной или риторической алгебре приходилось усиленно напрягать память и воображение, чтобы постоянно удерживать в сознании все логические нити, связывающие конечные выводы с условиями задачи. Античному математику приходилось развивать тот особый склад мыслей, который вырабатывается у шахматных игроков, ведущих партию, не глядя на доску. Там нужно было «сверхчеловеческое разумение» для этой работы. Какой исключи­тельной силы абстрактного мышления требовала эта работа, мож­но видеть из того, что Евклид не нашел себе подражателей и теория несоизмеримых 1800 лет оставалась в этой форме».