Завдання № 4.

Приклад. Дано координати точок – вершин піраміди ABCD:

.

Треба:

1) обчислити довжину ребра AB;

2) знайти рівняння площини грані ABC;

3) найти кут між гранями ABC та BCD;

4) скласти параметричні рівняння прямої AB;

5) скласти канонічне рівняння висоти піраміди DK, яка проведена з вершини D;

6) знайти координати точки перетину прямої DK та грані ABC;

7) знайти кут між ребрами AB та BC;

8) знайти кут між ребром AD та гранню ABC;

9) зробити креслення піраміди в системі координат.

Розв’язання.

1) Знайдемо довжину ребра :

2) Щоб получити рівняння площини грані ABC, необхідно знайти вектор, який перпендикулярний площині ABC, тобто вектор, що перпендикулярний векторам и . Одним з таких векторів є векторний добуток на . Для того, щоб знайти його, спочатку обчислимо координати векторів:

={–3–(–2); 2–1; –1–1} = {–1; 1; –2},

={7; –3; –3}.

Знайдемо векторний добуток векторів та :

У якості вектора нормалі до площини ABC можливо взяти любий вектор, який колінеарний отриманому, наприклад, = (9; 17; 4). Використовуємо рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно вектору :

– рівняння площини грані ABC.

3) Перед, тим як знайти кут між гранями ABC та BCD, отримаємо рівняння грані BCD. Для цього застосовуємо рівняння площини, яка проходить через три задані точки :

– рівняння грані BCD.

З рівняння площини BCD візьмемо координати вектора нормалі , перпендикулярного до цієї площини: ={3; 7; –4}.

Знайдемо косинус кута між площинами (гранями) ABC та BCD:

Звідси .

4) Рівняння ребра AB можна записати як параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку A (–2; 1; 1) та має напрямний вектор = (–1; 1; –2):

– параметричні рівняння прямої AB.

Другий спосіб: можна використати рівняння прямої, яка проходить через дві точки :

звідки, якщо позначити кожну з дробів буквою t, отримаємо:

– параметричні рівняння AB.

5) Висота піраміди DK – це пряма, яка проведена з вершини D перпендикулярно грані ABC. Вона має напрямний вектор , колінеарний вектору нормалі площини ABC. Можна взяти, наприклад, = = {9; 17; 4}. Запишемо канонічне рівняння висоти DK з використанням точки D (–1; 0; –3) та вектора =(9; 17; 4):

– канонічне рівняння прямої DK.

6) Перед тим, як знайти точку перетину прямої DK та грані ABC, отримаємо параметричні рівняння прямої DK. Позначимо кожну з дробів у канонічному рівнянні буквою t, отримаємо:

– параметричні рівняння прямої DK.

Точка перетину DK та грані ABC (точка К) лежить на прямій, а значить, має координати , та належить площині, тобто її координати задовольняють рівнянню площини ABC. Тому координати точки K знайдемо, розв’язуючи систему:

Розв’яжемо останнє рівняння відносно t:

Обчислимо координати точки K, для чого підставимо знайдене значенняпараметра t у перші три рівняння системи:

Так, точка перетину прямої DK і грані ABC: .

7) Кут між ребрами AB і BC знайдемо, як кут між напрямними векторами прямих AB и BC: = (–1; 1; –2) та =(8; –4; –1). Обчислимо косинус кута :

Тоді кут між ребрами AB і BC:

8) Щоб визначити кут між ребром AD та гранню ABC,

знайдемо напрямний вектор прямої: =(1; –1; –4). Площина ABC має вектор нормалі = (9; 17; 4). Синус кута між прямою та площиною ABC можна обчислити:

Тоді кут між ребром AD та гранню ABC:

9) Виконаємо креслення піраміди у системі координат (рис.).

Відповіді:

1)

2) АВС:

3) ;

4)

5) DK: ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) креслення піраміди на рис.