Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание M x, то дисперсией случайной величины x называется величина D x = M (x - M x)².

Легко показать, что D x = M (x - M x)²= M x ² - M (x)².

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M x ² > для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

, .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства дисперсии:

• дисперсия любой случайной величины неотрицательна, D x 0;

• дисперсия константы равна нулю, D c =0;

• для произвольной константы D (cx) = c ² D (x);

• дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D (x ± h) = D (x) + D (h).

Схема Бернулли - Проводятся опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью (или не произойти — «неудача» — ). Задача — найти вероятность получения успехов в опыте.

Решение:

Количество успехов — величина случайная, которая имеет распределение Бернулли.

Билет 23.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения хв, вводят сводную характеристику - выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_B называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений

Если все значения x₁, x₂,..., x_n признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака x₁, x₂,..., x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂,..., n_k, причем n₁+n₂+...+n_k = n, то

Выборочное среднее квадратическое отклонение s – неотрицательный квадратный корень из дисперсии, т.е.

• Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

.

Для построения оценки нужны критерии, по которым судят о её качестве. Сформулируем некоторые свойства, позволяющие разумным образом выбирать оценки.

1. Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике случайной величины:

, (1.1)

т. е. если она не дает систематической ошибки.

2. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений оценка сходится по вероятности к искомой величине, т. е. для любого сколь угодно малого

. (1.2)

Если известно, что оценка несмещенная, то для проверки состоятельности её удобно пользоваться условием: . Если последнее условие выполнено, то из неравенства Чебышева следует, что оценка состоятельная. .

Иными словами, состоятельность означает, что оценка, построенная по большому числу наблюдений, имеет меньший разброс (дисперсию), т. е. .

Билет 24.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна

, (3.4)

где .

Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом!! n,, и сравнительно небольшом!! m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.

Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел

Тогда получим

(3.5)

Билет 25.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M (X) = x ₁ p ₁+ x ₂ p ₂+...+ x_n p_n.
Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M (X). Однако эту характеристику можно оценить. В качестве оценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M (X) ≈ `X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M (C) = C.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX) = CM (X).
3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M (X + Y + Z) = M (X)+ M (Y)+ M (Z).
4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M (X × Y × Z) = M (X)× M (Y)× M (Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.