Оценка коэффициентов Фурье.

Теорема 1. Пусть функция ƒ (x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ ^{( s)} (x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ ^{( s)} (x)│ ≤ M_s; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

(6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ (-π) = ƒ (π), имеем

Поэтому

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ ^΄ , …, ƒ ^{( s-1)} непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ (x) имеет место неравенство

(8)

Доказательство. Имеем

(9)

Вводя в данном случае замену переменной и учитывая, что ƒ (x) – периодическая функция, получим

Складывая (9) и (10), получаем

Отсюда

Аналогичным образом проводим доказательство для b_k.

Следствие. Если функция ƒ (x) непрерывна, то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю: a_k → 0, b_k → 0, k → ∞.

Пространство функций со скалярным произведением.

Функция ƒ (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Очевидно для любых кусочно-непрерывных на [a, b] функций ƒ, φ, ψ выполняются свойства:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ, ƒ) и из равенства (ƒ, ƒ) = 0 следует, что ƒ (x) =0 на [a, b], исключая, быть может, конечное число точек x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

где α, β – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы будем обозначать, и называтьпространством

Замечание 1.

В математике называют пространством = (a, b) совокупность функций ƒ (x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство есть часть . Пространство обладает многими свойствами пространства , но не всеми.

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (ƒ, φ) |≤ (ƒ, ƒ)^½ (φ, φ) ^½ , которое на языке интегралов выглядит так:

Величина

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1) || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ (x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f _n }, принадлежит к , сходится к функции принадлежит в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если

Отметим, что если последовательность функций ƒ _n (x) сходится равномерно к функции ƒ (x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ (x) - ƒ _n (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если ƒ _n (x) стремится к ƒ (x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n.

Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒ _n (x) (n = 1, 2, …), причем

При любом натуральном n

и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем

т. е. последовательность функций {f_n (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].

Из элементов некоторой последовательности функций ƒ ₁, ƒ ₂, ƒ ₃, … (принадлежащих ) построим ряд

ƒ ₁ + ƒ ₂ + ƒ ₃ +… (12)

Сумма первых его n членов

σ _n = ƒ ₁ + ƒ ₂ + … + ƒ _n

есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в существует функция ƒ такая, что

|| ƒ - σ _n || → 0 (n → ∞),

то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут

ƒ = ƒ ₁ + ƒ ₂ + ƒ ₃ +…

Замечание 2.

Можно рассматривать пространство = (a, b) комплекснозначных функций ƒ (x) = ƒ ₁ (x) + iƒ ₂(x), где ƒ ₁ (x) и ƒ ₂ (x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ (x) = ƒ ₁ (x) + iƒ ₂ (x) и φ (х) = φ ₁ (х) +i φ ₂ (х) определяется следующим образом:

а норма ƒ определяется как величина

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.

2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

3. Н.С.Пискунов „Дифференциальное и интегральное исчисления”, Москва, „Наука”, 1972 г.

4. И.М. Уваренков, М.З. Маллер „Курс математического анализа”, Москва, „Просвещение”, 1976 г.

5. В.С. Шипачев „Высшая математика”, Москва, „Высшая школа”, 1990г.

6. Г.Е. Шилов „Математический анализ функции одного переменного”, Москва, „Наука”, 1970 г.

7. Я.С. Бугров, С.М. Никольский „Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного”, Москва, „Наука”, 1989 г.

8. В.А. Подольский, А.М. Суходский „Сборник задач по математике для техников-программистов”, Москва, „Высшая школа”, 1978 г.

9. Г.М. Фихтенгольц „Курс дифференциального и интегрального исчисления”, том III, Москва, „Наука”, 1969г.

10. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов „Краткий курс высшей математики”, том2, Москва, „Высшая школа”, 1978г.