Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Понятие числового ряда






ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА…………………………………..….3

1.1 Понятие числового ряда………………………………………………….…3

2.СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ…………..…4

2.1 Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами…....4

3.ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА……………...5

3.1 Понятие знакочередующегося ряда………………………………………..5

3.2 Признак Лейбница…………………………………………………………..6

4.АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ…………………………………………………………………………..7

4.1 Абсолютная и условная сходимость………………………………………7

4.2 Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов………..8

5.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ………………………………………………8

5.1Основные понятия…………………………………………………………..8

5.2Функциональный ряд, его сходимость…………………………………….9

6.СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ………………………………………………………..10

7.РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ…………………….11

8.ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ…….12

8.1. Вычисление значений функций с помощью рядов……………………..13

9.РЯДЫ ФУРЬЕ………………………………………………………………..13

9.1. Понятие ряда Фурье………………………………………………………13

9.2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье……………….14

9.3 Оценка коэффициентов Фурье……………………………………………15

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………..20

ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА

Понятие числового ряда

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пара числовых последовательностей { an } и { Sn }, где называется (числовым) рядом (или бесконечной суммой) и обозначается . Элементы последовательности { an } называют членами ряда, а элементы последовательности { Sn } – частичными суммами ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел последовательности { Sn }, который мы обозначим S, тогда S называют суммой ряда; а сам ряд именуют сходящимся и пишут: . Если же последовательность { Sn } не имеет конечного предела, ряд именуют расходящимся.

Для задания ряда достаточно задать только одну из последовательностей { an } или { Sn }. Сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности { Sn }, и поэтому исследование ряда можно свести к исследованию последовательности { Sn }.

1.2.Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, тогда последовательность членов ряда { an } имеет предел равный нулю. (Свойство следует из Критерия Коши для сходимости последовательности { Sn }.)

2. (Сходимость линейной комбинации) Если два ряда сходятся, то сходится и их линейная комбинация, причем:

(Свойство следует из свойства сходимости линейной комбинации последовательностей, примененного к последовательностям частичных сумм.)

3. Для ряда назовем k -ым остатком ряда ряд вида . Если ряд сходится, тогда сходится и любой его остаток. Если сходится какой-то из остатков, тогда сходится и весь ряд, причем если обозначить Rn сумму n -го остатка ряда, тогда при любых значениях n выполнено равенство:

S = Sn + Rn

4. Из предыдущего свойства следует, что остатки сходящегося ряда стремятся к нулю.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.