Попереднє опрацювання результатів польових вимірювань у полігонометрії

11.4.1. Попереднє опрацювання лінійних вимірів

Загальна формула обчислення довжини ліній траверсної полігонометрії має вигляд:

(ПАЇ)

де п - кількість укладень мірного дроту в лінію, що вимірювалась; /₀ - довжина дроту між нулями шкал; п,, з, - - передній та задній відліки шкал; AS_k - поправка за компарування дроту; AS_h - поправка за перевищення між задньою та передньою шкалами дроту (під час кожного його вкладання); AS_t - поправка за різницю температур дроту під час вимірювання та компарування; d - домір,

Планові геодезичні мережі

частина лінії (d < /₀), виміряна рулеткою; Ad_k - поправка за компарування

рулетки; Ad_h - поправка за перевищення між кінцями доміру; Ad_t - поправка за

різницю температур рулетки під час вимірювання та компарування; AS_H -

поправка за редукування (приведення) лінії до рівня моря; AS_r__K - поправка за

редукування на площину проекції Гаусса-Крюгера.

Якщо лінія виміряна світловідцалеміром, то загальна формула її довжини має вигляд:

(ІІ.4.2)

де S_t - середнє арифметичне значення відліків у режимі " точно" із урахуванням

відомої кількості кілометрів; AS_h - поправка за приведення нахиленої лінії до

горизонту; AS_n - поправка за середні температуру Т та тиск повітря Р

вздовж лінії; AS, - поправка за дрейф частоти кварцового генератора від

номінальної частоти; AS_y - поправка за циклічну похибку; AS_H та AS_r__K, як і у

(П.4.1) - поправки за редукцію лінії S на рівень моря та на площину проекції Гаусса-Крюгера.

11.4.2. Редукування довжин ліній на рівень моря і на площину Гаусса-Крюгера

Відповідно до рис. П.4.1 лінія S між точками А та В розташована на земній поверхні. Середня висота лінії:

(П.4.3)

S₀ - проекція цієї самої лінії на рівні моря; О - центр Землі; R₃ - радіус Землі. Необхідно знайти AS_H - різницю між S та S₀:

(П.4.4)

Виконаємо просте, але достатньо точне розв'язання цієї задачі. Проведемо через точку В_х пряму, паралельну до АА_Х. Тоді відрізок В'В = AS_H.

Трикутники АБО та В'ВВ_Х - подібні. З їхньої подібності можемо записати:

AS_H S

(11.4.5)

Розділ II

Враховуючи, що R₃ у багато разів більший за Н_сер, тобто R₃»Н_сер. отже, Н можна знехтувати, тоді:

S

(П.4.7)

Рис. 11.4.1. Редукування лінії S на рівень моря

Отже,

S₀=S-AS_H. (II.4.8)

Розглянемо, з якою точністю необхідно знати Н та R₃. Продиферен-ціюємо (И.4.7) за змінними Н_сер та R₃:

d(AS_H) S MA$_H)

Квадрат середньої квадратичної похибки поправки становитиме:

(П.4.9)

Нехай 5_тах = 3000 м, m_R = 300 м, Н_сер= 3000 м, т_н = 1 м. Тоді

отримаємо w^ = 0, 47 мм. Другий член формули (П.4.9) дає 0, 066 мм. Отже, радіус Землі можна знати з похибкою 300 м, але Н_сер потрібно знати з точністю 0, 5 м, тоді похибка поправки т^ становитиме 0, 24 мм при величині поправки

AS

Н

-1, 4126 м.

Планові геодезичні мережі

Перейдемо до редукування лінії S на площину проекції Гаусса-Крюгера. Як відомо, суть цієї проекції можна зобразити геометрично, якщо Землю вважати сферою й частинами (6°-градусними зонами) проектувати на циліндр, радіус якого дорівнює радіусу Землі R₃ (рис. П.4.2). Циліндр, як відомо, розрізавши по твірній, можна розгорнути у площину.

На цьому рисунку ZAZ' - осьовий меридіан шестиградусної зони, який дотикається до циліндра. Від осьового меридіана через 3° показано пунктирами ще два меридіани. Ці меридіани не дотикаються до циліндра. Між осьовим та лівим і правим (пунктирними) меридіанами показана пунктиром лінія S₀ на сфері, яка також (окрім точки А) не дотикається до циліндра. Меридіани, показані пунктиром, спроектуємо на циліндр; вони видовжаться, дотикатимуться циліндра та показані суцільними лініями. Вся зона у проекції дещо збільшилася. Лінія S₀ спроектувалася на циліндр, видовжилась, і дорівнює S. Вона показана суцільною, потовщеною кривою. Лінія S на всій довжині дотикається до циліндра. Під час проектування сфери на поверхню циліндра Гаусе поставив умову, щоб зображення малої ділянки на циліндрі було подібне до відповідної ділянки на кулі. Кути між відповідними напрямками на кулі та циліндрі повинні бути однаковими. Таку проекцію називають конформною (рівнокутною), а всі лінії такої проекції - довші, ніж на сфері. На рис. П.4.2 для наочності показано ще одну лінію S^ у меридіані, що становить з осьовим кут в 90° і розміщена у перетині сфери площиною XOY. Ця лінія S'₀ не розміщена у шестиградусній зоні. Спроектуємо її радіусами-векторами на твірну циліндра, отримаємо лінію S', кінці якої мають ординати Y_x та Y₂. Оскільки лінія S₀ не у шестиградусній зоні, то її проекція S значно довша. У різних точках меридіана ZQZ', з віддаленням від полюса Z, спотво­рення зростають, а в точці Q (на екваторі) спотворення сягають нескінченності. Рис. И.4.2 дає тільки геометричне уявлення суті проекції, що вже зазначалось.

Насправді, оскільки Земля не сфера, то завдання проектування ускладнюється й розв'язується в курсі сферичної геодезії. Формула видовження ліній AS_r__K складна, але видовження можна виразити доволі точно першим членом цієї формули:

(П.4.10)

де

(ПАН)

Рис. 11.4.2. До пояснення геометричної суті проекції Гаусса-Крюгера

Зауважимо, що поправки за редукування ліній на рівень моря на території України завжди від'ємні; навпаки, поправки редукування ліній на площину Гаусса-Крюгера завжди додатні. Завжди від'ємними є також поправки за приведення нахилених ліній до горизонту.

11.4.3. Опрацювання результатів кутових вимірювань на окремому геодезичному пункті

Нехай на деякому пункті кути вимірювали способом кругових прийомів. Припустимо, на цьому пункті було k напрямків, а під час вимірювання вико­нано п прийомів. Завданням попереднього опрацювання результатів вимірю­вань є встановити точність вимірювань. Визначимо середню квадратичну похибку вимірювання кутів на цьому пункті. Звернемося до рис. ІІ.4.3.

Можемо записати матрицю виміряних кутів:

Планові геодезичні мережі

Рис. 11.4.3. До вимірювання кутів на пункті Т (для k напрямків ma n прийомів)

Оскільки кутів на один менше ніж напрямків, то матриця кутів матиме (к -1) стовпчиків та п рядків. Усіх кутів буде (к - 1) • п. Визначимо середні значення одних і тих самих кутів, кожний з яких виміряний п разів, та знайдемо їхні найімовірніші похибки 5^.

Лг—1

Матриця похибок також матиме п ■ (к -1) похибок. Проте виміряти всі кути одним прийомом необхідно. Тому надлишкових прийомів буде (п -1), а надлишкових вимірювань (п - 1)(к -1). Тому формула (формула Бесселя) серед­ньої квадратичної похибки, обчислена за найімовірнішими похибками вимірю­вання 5, ₇, матиме вигляд:

(ПА 12)

11.4.4. Оцінка точності лінійних вимірювань за результатами польових робіт

Припустимо, що під час польових робіт створена мережа поліго-нометричних ходів, які за формою близькі до витягнутих та мають поздовжні зсуви t\. Кількість ходів./V, їхні довжини L_i. Тоді маємо:

Розділ II

Поздовжні зсуви /, ' викликані як випадковими, так і систематичними похиб­ками. Виключимо систематичні похибки. Для цього спочатку визначимо коефіці­єнт систематичного впливу X, тобто систематичну похибку на одиницю довжини:

(П.4.13)

Тепер знайдемо поздовжні зсуви, викликані тільки випадковими похибками:

(ПА 14)

Будемо мати ряд таких (випадкових) похибок t_{, t₂, t₃,...t_n. Для кожного з ходів характерний певний коефіцієнт випадкового впливу Щ, тобто випадкова похибка на одиницю довжини. Можемо записати:

Випадкові похибки /, матимуть різні знаки. Щоб позбутися різних знаків, піднесемо останні рівняння до квадратів:

Якщо ходи прокладають однаковими за точністю приладами, а лінії вимірюють однаковими методами, тоді значення ц, можна вважати рівно-точними. Знайдемо найімовірніше значення д²:

або

(ІІ.4.15)

Тепер ми знаємо коефіцієнти випадкових \і та систематичних X впливів на результати лінійних вимірювань. Це дає змогу розрахувати сумарну похибку m_s. будь-якої лінії S_t або похибку m_L будь-якого ходу Ц:

(ІІ.4.16)

Планові геодезичні мережі

Зауважимо: ми виконали оцінку точності за результатами польових робіт, так звану постеріорну оцінку. Для підвісних мірних приладів та для світловіддалемірів заздалегідь (до виконання вимірювань) відомі значення коефіцієнтів (J. та X. Це дає змогу наперед, до вимірювань, підрахувати очіку­вані похибки, тобто виконати апріорну оцінку. Останнє, своєю чергою, дає змогу підібрати такі прилади та методи для виконання вимірювань, щоб мати мінімальні матеріальні затрати й задовольнити всі вимоги замовника робіт.

11.4.5. Оцінка точності кутових вимірювань за результатами польових робіт

Оцінку точності кутових вимірювань виконаємо аналогічно, як і оцінку лінійних вимірювань. Нехай маємо./V полігонометричних ходів, кутові не-в'язки яких fa., а кількість кутів у ході (и_г +1), де п_і - кількість ліній. Тоді

запишемо:

ходи: нев'язки:

кількість кутів у ході:

Будемо вважати, що кути містять переважно випадкові похибки, а сис­тематичні похибки зведені до мінімуму. Позначимо сумарну випадкову похибку окремого кута в ході mn.. Тоді можемо записати формули

/р, ^=тр, ■ \Ч ⁺¹! /р₂ ^=7Ир2 ■ > /^и2 ^{+ 1};./рз ^=mh • V" 3 +1;

або

і] ті «2 " ^{г 1} " з +1 «дг

Знайдемо квадрат найімовірнішої похибки вимірювання кута, вважаючи, що кути вимірювались рівноточно:

(11.4.17) Або:

(П.4.18)

Розділ II

Для теодолітів (тахеометрів) також відомі середні квадратичні похибки вимірювання кута одним прийомом. Тому можна виконувати апріорну та постеріорну оцінки точності вимірювань. Проте зауважимо, що остаточну оцінку точності вимірювання кутів та ліній здійснюють на основі зрівнова­ження мереж.

11.5. Прив'язувальні роботи у полігонометрії

11.5.1. Види та завдання прив'язувальних робіт. Способи прив'язування

Розрізняють два види прив'язувальних робіт:

I. Прив'язування пунктів полігонометрії до пунктів тріангуляції, трила-
терації, космічних мереж або до пунктів полігонометрії старших класів.

II. Прив'язування пунктів полігонометрії до постійних предметів на
місцевості.

Задача І виду прив'язування - передати координати та напрямки з уже наявних, раніше закладених геодезичних пунктів, на пункти полігонометричних мереж, що створюються.

Задача II виду прив'язування - відшукування полігонометричних пунктів на місцевості. Існує багато способів прив'язування І та II видів. Проте найтиповішими прив'язуваннями І виду є:

1. Безпосереднє поєднання пунктів полігонометрії з раніше закладеними пунктами тріангуляційних мереж або старших пунктів полігонометрії. Центри знаків наявних пунктів одночасно стають і центрами знаків нових поліго­нометричних мереж. Зрозуміло, що координати цих нових пунктів такі самі, як і координати раніше закладених.

2. Прив'язування до близьких пунктів, але недоступних або важко-доступних пунктів тріангуляції. Такі пункти зазвичай розташовані на високих спорудах. Наприклад, основи хрестів на церквах є такими пунктами (мають відомі координати). Прив'язування до таких пунктів називають " знесенням координат".

3. Прив'язування до далеких пунктів тріангуляції (виконуються прямими, оберненими та комбінованими засічками).

Прив'язування II виду виконуються в кожному конкретному випадку різними способами, залежно від наявності постійних (фундаментальніших, ніж пункти полігонометрії) предметів та споруд на місцевості. Від стабільних споруд вимірюють віддалі до пунктів так, щоб за цими вимірюваннями можна

Планові геодезичні мережі

оуло з контролем знайти ту точку на місцевості, де закладався полігоно-метричний знак. У забудованих територіях такими місцевими предметами є бу­динки, перехрестя вулиць, опори дротів тощо; отже, прив'язування не викликає ускладнень. У малоконтурній місцевості таке прив'язування ускладнюється, доводиться виконувати прив'язування до значно віддаленіших предметів.

11.5.2. Передавання координат із високих (недоступних) точок на Землю (знесення координат)

Щоб виконати таке прив'язування, необхідно, щоб для точки, координати якої визначаються, було видно не тільки високу (близьку) точку з відомими координатами, але, як мінімум, ще одну точку (зазвичай пункт тріангуляції, також з відомими координатами).

Рис. 11.5.1. Знесення координат із недоступної (високої) точки Т_х на пункт полігонометрії Ру

Задачу знесення координат поділимо на три частини:

1. Визначення горизонтальної віддалі S (рис. ІІ.5.1) між точками 7j та Р_х.

Виміряємо два базиси в_х та в₂ ■ Базиси є сторонами трикутників 7J/J1,

Виміряємо горизонтальні кути а, Р, у, \|/ та ф. Для вищеназваних три­кутників за теоремою синусів можемо записати:

(П.5.1)

На підставі (П.5.1) знаходять два значення S_: та S₂. Виводять середнє значення S.

2. Визначення дирекційного кута а_г п лінії 7J-/J.

Розділ II

Для трикутника Т{Г₂Р\ запишемо теорему синусів:

в S

Із цього самого трикутника визначимо кут А,:

Далі знаходимо дирекційний кут щ ■ п:

і 3. Визначення координат Id, ї».

Знаючи координати точки 7] (X_х, Y_]), довжину лінії 5^і та її дирекційний кут < х, _т _р ч і, розв'язавши пряму геодезичну задачу, знайдемо шукані

координати точки Хп, Y_p.

АХ = S ■ cos a

(П.5.6)

(П.5.7)

//.5.3. Пряма одноразова та багаторазова засічки

Нехай для визначення координат точки Р (рис. ІІ.5.2) з кожного з відомих пунктів 7], Г₂, Т₃,..., T_N (координати всіх цих пунктів відомі) було зроблено ві­зування на шукану точку Р та виміряні кути р^, Р₂ > Рз > •••> Р; ^м> ^ж лініями з відо­мими дирекційними кутами а^, а_в, а_с,..., a_N та напрямками на точку Р.

Маючи координати всіх чотирьох точок, чотири дирекційні кути та чотири виміряні кути, можна визначити по шість значень Х_Р та Y_P, комбінуючи точки з відомими координатами по дві: 1, 2; 1, 3; 1, 4; 2, 3; 2, 4; 3, 4. Визначення найімовірніших координат точки Р(х_Р, ї_Р) ^за 4^ими вимірюваннями називають прямою багаторазовою засічкою. Проте, як зрозуміло з тільки що сказаного, достатньо мати дві відомі точки, наприклад, 7] та Т₂, щоб знайти

координати шуканої точки Х_Р та Y_P. Справді, розглянемо рис. П.5.3. У

Планові геодезичні мережі

трикутнику Ту Т₂ Р відомі три елементи. Це означає, що трикутник можна

розв язати та знайти інші три елементи.

(II. 5.8)

Рис. 11.5.2. Пояснення суті прямої багаторазової засічки

Рис. 11.5.3. До пояснення суті прямої одноразової засічки

З (II.5.8) знайдемо довжини ліній 5, та S₂ ■ Далі визначимо дирекційні кути цих ліній:

^а(Ту-р) ^=а(Ту-т₂) ~Рі' ^а{т₂-Р) ^=а(т₂-Ту) ⁺Р2 ■ (П.5.9)

Координати точки P(x_p, y_p) можна визначити два рази (із контролем): один раз - користуючись точкою 7j, а другий раз - точкою Т₂.

(II. 5.10) (ІІ.5.11)

Розділ II

Визначення координат точки Р за двома відомими точками та виміря­ними в цих точках кутами pj та Р₂ називають одноразовою прямою кутовою засічкою. Якщо виконані польові вимірювання необхідні для прямої багато­разової засічки, тоді ця задача розв'язується так. Вибирають дві точки з відомими координатами, бажано так, щоб лінії візування на шукану точку Р перетиналися під кутом, близьким до прямого. Розв'язують одноразову пряму засічку й знаходять наближені координати точки Р - Х₀ та Y₀. Потім за спосо­бом найменших квадратів визначають найімовірніші поправки Ь_х та 5_Y до наближених координат, тобто знаходять

(ІІ.5.12)

Зрозуміло, що таке розв'язання задач позбавляє необхідності декілька разів розв'язувати пряму одноразову засічку.

11.5.4. Обернена одноразова кутова засічка (задача Потенота)

Розглянемо суть цієї задачі. Нехай маємо три точки 7j, T₂ та Г₃ з

відомими координатами (рис. П.5.4), а координати четвертої точки необхідно визначити. Теодоліт встановлюють тільки в шуканій точці Р і вимірюють два кути між напрямками на відомі точки, тобто кути (3j та р₂ • Така задача нази­вається оберненою одноразовою кутовою засічкою.

Рис. 11.5.4 Обернена одноразова засічка (задача Потенота)

Розв'яжемо цю задачу. Припустимо, що координати точки P(X, Y) знай­дені. Тоді для визначення дирекційного кута а напрямку Р-Т_{ можемо запи­сати формулу

_{/ga =} JLZL. (II.5.13)

Хх-х

Планові геодезичні мережі

Далі знайдемо дирекційні кути двох інших напрямків (рис. ІІ.5.4):

(II. 5.14)

(ІІ.5.15) (П.5.13) запишемо дещо в іншому вигляді для кожного із трьох напрямків:

(II. 5.16)

Маємо систему із трьох рівнянь. У цій системі три невідомі коорди­нати X, Y та дирекційний кута. Отже, система рівнянь може бути розв'язана і визначені невідомі X, Y та а. Не вдаючись у подробиці перетворень рівнянь системи (ІІ.5.16), подамо тільки кінцеві формули для обчислення дирекційного кута а та координат X, Y.

(ІІ.5.17)

Знаючиа, визначимо дирекційні кути (Xj та а₂ за (II.5.14) та (II.5.15). Формула визначення X має вигляд:

(П.5.18)

Знаючи X, знайдемо Y, скориставшись одним з рівнянь системи (II.5.16). Візьмемо друге рівняння цієї системи і запишемо його так:

(ІІ.5.19)

Обернена одноразова засічка (задача Потенота) дуже широко застосо­вується у геодезичній практиці, оскільки для визначення координат точки достатньо виміряти 2-3 кути на одній точці, на що витрачається не більше від 10 хвилин. Існує більш ніж сто методів аналітичного та графічного розв'язання цієї задачі. Студентам відомі з курсу " Топографії" " графічні методи розв'язання цієї задачі, запропоновані Бесселем, Леманом. Відомо також, що ця задача не має розв'язку, якщо шукана точка розташована на колі, на якому розміщені також три точки з відомими координатами. Уже цей факт вимагає візувати з шуканої точки не на три, а мінімум на чотири відомі точки. Одноразова обернена засічка перетворюється на багаторазову обернену засічку. Така засічка, як і багаторазова пряма засічка, уможливлює кількаразове визначення координат шуканої точки, тобто також постає питання визначення найімо­вірніших поправок 5^ та 5_У до наближених координат Х₀, Y₀. Визначають 8^

Розділ II

та b_Y за методом найменших квадратів, і широко застосовують диференційні

формули дирекційних кутів. Ці формули виведені в наступному параграфі. Зауваження: у попередніх параграфах розглядалися кутові засічки, характерні для методу тріангуляції. Аналогічно можуть виконуватися лінійні засічки, характерні для трилатерації, коли вимірюються не кути, а лінії.

11.5.5. Диференційні формули дирекційних кутів

Допустимо, що лінія АВ має координати її кінців А(Х_А, Y,), В(Х_в, Y_B), а її дирекційний кут - а. Нехай точка А не змінює свого розміщення (" тверда" точка). У цій точці стоїть теодоліт. На " твердих" точках стоїть теодоліт, коли виконується пряма засічка. Припустимо далі, що точка В дещо змінила своє положення, а її координати стали X_в + dX_в; Y_B + dY_B. Тоді дирекційний кут також змінить своє значення на da. Потрібно знайти зв'язок між змінами координат та змінами дирекційних кутів. Формули, що виражають такий зв'язок, називаються диференційпими формулами дирекційних кутів.

Можливий інший випадок, коли, навпаки, точка А дещо змінила коор­динати. Нехай ця точка " шукана" (шукаємо її найімовірніші координати). Точка В - відома (" тверда"). Теодоліт встановлено в точці А. Цей випадок відповідає оберненій засічці.

пряма засічка В

((теодоліт)
А відома

(Хл> YjO " тверда'

11

обернена засічка

відома В " тверда " Р

a Nda

1