Игровые модели в экономике

Теория игр – раздел математики, моделирующий конфликтные ситуации, т.е. ситуации, когда рассматривается взаимодействие сторон с несовпадающими интересами.

Теория игр является математической теорией принятия решений при целенаправленном воздействии среды. Она предназначена для выработки рекомендации по рациональному поведению участников конфликта.

Формальное описание предполагает:

· задание множества участников конфликта;

· задание множества контролируемых ими параметров;

· формулировка правил, по которым производится отбор и оценивается возможная эффективность действий участников.

Цели противодействующих сторон не обязательно должны быть антагонистическими.

Конкретное описание конфликта осуществляется путём задания определенных специальных правил. Такими правилами являются:

1) возможные действия игроков;

2) состав информации о действиях других игроков и об условиях, в которых происходит игра;

3) оценки качества действий каждого из игроков.

Партия представляет собой фиксированный вариант реализации игры при неизменных правилах и складывается из отдельных ходов, принимаемых противоположной стороной.

Поведение каждой из оперирующих сторон характеризуется стратегией.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Оптимальная стратегия – стратегия, которой при многократном повторении игры партии обеспечивается максимальный выигрыш или минимальный проигрыш.

Предполагается, что противник рационален и его действия направлены на обеспечение своего выигрыша.

Обычно используется так называемый матричный подход для описания конфликтной ситуации.

Предположим играют 2 человека – А и В. Будем характеризовать результат каждого хода ценой. Построим таблицу выигрышей, которая называется платежной матрицей А: В α = max α _i = max min a_ij – нижняя чистая цена

I i j

β = min β j = min max a_ij – верхняя чистая цена

J j i

α = β = ν

a_ij - выигрыш или проигрыш (i = 1…m; j = 1…n).

Если нижняя и верхняя чистые цены совпадают, то игра называется игрой с седловой точкой (ν). Если противники А и В рациональны, то они не допускают отклонения от своей стратегии или выгодно придерживаются нулевой суммы. И игра решаема в чистых стратегиях.

Если нижняя и верхняя цены не совпадают, у противника остается возможность использовать так называемые смешенные стратегии.

При игре с ненулевой суммой игроки выбирают наилучшие стратегии для себя с большей вероятностью.

Кроме биматричных игр существуют и коалиционные игры, которые способствуют объединению игроков, отстаивающих интересы коалиции (например, Украина).

В случае, когда результаты того или иного хода неизвестны, то говорят об игре в условиях неопределенности. Для принятия решений вусловиях неопределенности игроки используют те или иные критерии, которые позволяют оптимизировать результаты игры:

1) Критерий Вальда. Это критерий крайнего пессимизма. Принимающий решение считает, что какую бы стратегию он ни выбирал, природа реализует свое наихудшее состояние. В наилучших условиях принимающий решение находит наилучший выход.

α = max α _i = max min a_ij (i = 1…m; j = 1…n).

I i j

2) Критерий Сэвиджа. Этот критерий основан на принципе минимизации максимального риска. Сэвидж предложил рассматривать не платежную матрицу с ценой, а матрицу риска. Риском r_ij (i = 1…m; j = 1…n) принимающего решение называют разницу между тем выигрышем, который он бы получил, если бы знал, какое состояние реализует природа, и его реальным выигрышем.

r_ij = max a_ij - a_ij (i = 1…m; j = 1…n),

i

S = min S_i = min max r_ij.

I i j

3) Критерий Гурвица. Это критерий пессимизма-оптимизма. Наилучшей является стратегия A_ij, соответствующая числу ā _i:

ā _i = γ min a_ij + (1- γ) max a_ij (0≤ γ ≤ 1); j j

Значение параметра γ задает принимающий решение на основании своего опыта. Если γ = 1, то критерий Гурвица преобразуется в критерий крайнего пессимизма. Если γ = 0, то получаем критерий крайнего оптимизма.

Игровые модели находят широкое применение при проведении операций на фондовом рынке.