Дәріс. . Комбинаторика элементтері.

1. Комплексті шарт, сынау, оқ иғ а, жағ дайлар

2. Оқ иғ алар классификациясы

3. Ық тималдық тың классикалық анық тамасы

1 Комплексті шарт, сынау, оқ иғ а, жағ дайлар

Бұ л ұ ғ ымдарды тү сіндіру ү шін мысалғ а жү гінейік.

Мысал. Біртектес материалдан жасалғ ан симметриялы дұ рыс кубтың ә рбір жағ ын 1-ден 6-ғ а дейінгі цифрлармен нө мірлейік. Оны бір рет лақ тырғ анда (комлексті шарт орындалғ анда) 6 жағ ының бірі жоғ ары қ арап тү седі? Қ ай жағ ы (нө мері) тү ссе де мұ нымыз оқ иғ а болады.

Комплексті шарт деген терминнің орнына сынау, тә жірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз кө бінесе сынау терминін қ олданатын боламыз. Бұ дан былай сынау нә тижесін оқ иғ а деп тү сінетін боламыз. Ә детте оқ иғ аларды А, В, С,... бас ә ріптерімен белгілейді.

Сынау кезінде бірі пайда болғ анда, екіншісі пайда болмайтын нә тижелерді (оқ иғ аларды) жағ дайлар дейміз. Оларды А₁, А₂,..., А_п ә ріптерімен белгілейміз. Осы сыналатын жағ дайлардың барлық (жалпы) санын п -мен белгілейміз. Мысалы, тенгені лақ тырғ анда жағ дайлар саны n =2, ал кубты лақ тырғ андағ ы жағ дайлар саны n =6 болады.

2. Оқ иғ алар классификациясы

Сынау жү ргізілгенде А оқ иғ асы пайда болуы да, пайда болмау да мү мкін болса, ондай оқ иғ аны кездейсоқ оқ иғ а дейді. Сынау нә тижесінде оқ иғ а (А оқ иғ асы) сө зсіз пайда болатын болса, ондай оқ иғ аны ақ иқ ат оқ иғ а дейді. Сынау нә тижесінде оқ иғ а (А оқ иғ асы) сө зсіз пайда болмайтын болса, ондай оқ иғ аны мү мкін емес оқ иғ а дейді.

Сынау жү ргізгенде оқ иғ аның бірі пайда болғ анда, екіншісі пайда болмайтын екі оқ иғ аны ү йлесімсіз оқ иғ алар дейді.

Кез келген екі-екіден алынғ ан оқ иғ алар ү йлесімсіз болса, ондай оқ иғ аларды қ ос-қ остан ү йлесімсіз дейді.

Сынау жү ргізгенде оқ иғ аның бірі пайда болғ анда, екіншісінің де пайда болуы мү мкін болатын екі оқ иғ аны ү йлесімді оқ иғ алар деп атайды. Мысалы, кубтың жұ п нө мірінің шығ уы (А оқ иғ асы) жә не ү ш санына еселік нө мірдің шығ уы (В оқ иғ асы) ү йлесімді. Ө йткені кубтың 6-нө мірінің шығ уын кө рсететін А₆ оқ иғ асы А оқ иғ асы пайда болғ анда да, В оқ иғ асы пайда болғ анда да пайда болуы мү мкін.

Сынау нә тижесінде оқ иғ алардың тек ә йтеуір біреуінің сө зсіз пайда болуы ақ иқ ат болса, ондай оқ иғ аларды жалғ ыз ғ ана мү мкіндікті оқ иғ алар дейді. Мысалы, сынау нә тижесінде кубтың алты жағ ының біреуі (А оқ иғ асы) шығ уы сө зсіз, сондық тан А₁, А₂,..., А₆ оқ иғ алары жалғ ыз ғ ана мү мкіндікті оқ иғ алар, бұ лар оқ иғ алардың толық тобын қ ұ райды деп атайды. Сондық тан бұ л оқ иғ алар қ ос-қ остан ү йлесімсіз жә не оқ иғ алардың толық жү йесін қ ұ райды.

.3. Ық тималдық тың классикалық анық тамасы

Жоғ арыда біз оқ иғ а тү рлеріне мысалдар келтірдік, енді оқ иғ аның пайда болуы мү мкіндігінің сандық ө лшеуішін кө рсетеміз. Жалпы айтқ анда, А оқ иғ асының пайда болу мү мкіндігінің сандық мө лшеріне р(А) функциясының мә ні алынады. Мұ ны осы А оқ иғ асының ық тималдығ ы деп атайды.

Қ андай болмасын математикалық теория белгілі бір ұ ғ ымдар негізінде қ ұ ралатын болғ андық тан, біз ық тималдық тар теориясының қ ұ рылуын ық тималдық тың классикалық анық тамасына негіздейміз.

Ық тималдық тың классикалық анық тамасын алғ аш рет берген Лаплас еді.

Ық тималдық тың классикалық анық тамасы оқ иғ алардың тең мү мкіндіктеріне (тең ық тималдығ ына) сү йенеді.

Тең мү мкіндік немесе тең ық тималдық ұ ғ ымдары алғ ашқ ы ұ ғ ымдарғ а жатады, олар логикалық (формальді) анық тама беруді қ ажет етпейді. Жалпы сынау нә тижесінде бірнеше оқ иғ алар пайда болуы мү мкін болса жә не олардың біреуінің пайда болуы мү мкіндігінің, екіншісіне қ арағ анда, артық шылығ ы бар деп айта алмайтын болсақ, яғ ни сынаулар нә тижесінің симметриялы қ асиеті болса, мұ ндай оқ иғ алар тең мү мкіндікті делінеді.

Бірнеше оқ иғ алар тең мү мкіндікті, қ ос-қ остан ү йлесімсіз жә не оқ иғ алардың толық тобын қ ұ раса, онда ол оқ иғ аларды сынаудың мү мкін нә тижелерінің толық тобы деп атайды. Бұ л терминнің орнына тең мү мкіндікті барлық жағ дайлар немесе жалпы жағ дайлар саны не, қ ысқ аша жағ дайлар деп атайды.

Ал тең мү мкіндікті ү йлесімсіз жә не оқ иғ алардың толық тобын қ ұ райтын оқ иғ алардың (жағ дайлардың) бірнешеуі бір А оқ иғ асының пайда болуын тудыруы мү мкін. Бұ л оқ иғ аларды қ олайлы жағ дайлар деп атайды.

Анық тама. А оқ иғ асы қ олайлы жағ дайлар санының (т) сынаудың тең мү мкіндікті барлық жағ дайлар санын (п) қ атынасын А оқ иғ асының ық тималдығ ы деп атайды жә не былай жазады:

(1)

Ық тималдық тың бұ л анық тамасын классикалық анық тама дейміз. Бұ дан тө мендегі салдар шығ ады.

1. Ақ иқ ат оқ иғ а ық тималдығ ы 1-ге тең.

Шынында, оқ иғ а ақ иқ ат болу ү шін А оқ иғ асына қ олайлы жағ дайлар саны т сынаудың барлық тең мү мкіндікті жағ дайлар саны п -ге тең, яғ ни m=n болады. Онда (1) бойынша

(2)

2. Мү мкін емес оқ иғ а ық тималдығ ы нө лге тең.

Шынында да, егер оқ иғ а мү мкін емес болса, онда А оқ иғ асына қ олайлы жағ дайлар саны т нө льге тең болады. Олай болса

(3)

3. А оқ иғ асының ық тималдығ ы р(А) нө ль мен бір аралығ ындағ ы оң таң балы сан. Шынында, А оқ иғ асына қ олайлы жағ дайлар саны т нө льден п -ге дейінгі, ө здерін қ оса алғ андағ ы, мә ндерді қ абылдайды, яғ ни

,

немесе

(4)