Теория подобия. Критерии гидродинамического подобия

Процессы химической технологии можно изучать теоретически, в результате чего составляются и решаются, чаще всего, дифференциальные уравнения, полностью описывающие процесс. Примерами, широко используемыми в инженерной практике, являются основное уравнение гидростатики и уравнение Бернулли, которые получены решением соответствующих дифференциальных уравнений равновесия и движения Эйлера для идеальной жидкости. Однако многие процессы настолько сложны и часто сопровождаются изменением большого числа параметров (давления, скорости, температуры, вязкости, плотности, геометрических параметров и др.), что полученные для них дифференциальные уравнения не могут быть решены известными в математике методами. Примером могут служит дифференциальные уравнения Навье-Стокса для реальной (вязкой) жидкости, решение которых возможно только в отдельных частных случаях. Поэтому возникает необходимость изучения процесса с помощью экспериментов (опытов), а это возможно только при наличии теории постановки опытов и обработки их результатов. Такой теорией является теория подобия. Она отвечает на вопрос, как нужно ставить опыт и обработать полученные результаты, чтобы их можно было распространить на подобные процессы, протекающие в условиях, отличных от условий опыта. Применение теории подобия позволяет вместо трудоёмких дорогостоящих опытов на промышленном аппарате (натуре) выполнять исследования на лабораторных установках (моделях) значительно меньшего размера. Кроме этого опыты можно проводить не с рабочими (часто вредными и опасными) веществами, а с модельными (например, водой, воздухом и т.д.) в условиях, отличающихся от промышленных. Всё это позволяет упрощать и удешевлять эксперименты, быстрее реализовывать результаты исследований. Согласно теории подобия между моделью и натурным объектом должны существовать геометрическое подобие, подобие физических величин и временное подобие.

Отношение однородных (одноимённых) сходственных величин у натуры и модели называется константой подобия k.

Так, константа геометрического подобия трубопроводов (натуры и модели) выразится: , где ; - длины и диаметры этих трубопроводов.

Константы подобия физических величин (плотности , вязкости , скорости , давления ) натурного и модельного потоков в сходственных точках и в соответственные моменты времени выразятся так:

и т.д.

Если в рассматриваемом процессе свойства системы изменяются во времени, то константа временного подобия , указывает на то, что частицы жидкости в трубопроводах (натуре и модели) проходят геометрически подобные траектории за промежутки времени, находящиеся в постоянных соотношениях. Константы подобия или масштабные множители позволяют параметры натурного трубопровода выразить через одноимённые параметры модельного.

Подобие геометрических и физических параметров является необходимым, но недостаточным условием подобия модели и натурного объекта. Необходимо ещё, чтобы в сходственных точках геометрически подобных потоков отношение действующих сил были одинаковыми. Как известно, в потоке вязкой жидкости действуют силы веса (тяжести) и инерции, давления и трения. Соотношения сил давления и инерции, сил тяжести и инерции, сил инерции и трения (вязкости) выражают три безразмерных комплекса величин, являющихся критериями гидродинамического подобия потоков жидкости; они называются соответственно критериями Эйлера (), Фруда () и Рейнольдса (). Выражения этих безразмерных критериев и их физический смысл приводятся в табл. 1.1.

Равенство этих критериев в сходственных точках подобных потоков (натуры и модели) является необходимым условием их гидродинамического подобия (I теорема подобия):

.

Критерии подобия представляют собой отношения разнородных (разноимённых) физических величин и обозначаются начальными буквами имён учёных, внёсших большой вклад в данную область знаний.

Согласно II теореме подобия: решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, составленными из этих переменных.

Таким образом, зависимость между отдельными физическими величинами, входящими в уравнение Навье-Стокса (1.36), может быть заменена функциональной зависимостью между критериями подобия:

.

(1.37)

В ряде случае зависимость (1.37) может быть дополнена симплексом геометрического подобия (отношением двух однородных величин в одной и той же системе). При движении потока по трубам или каналам таким симплексом является отношение длины трубы к её диаметру : .

Конкретный вид зависимости (1.37) находится опытным путём.

При решении многих инженерных задач часто требуется определить перепад давления в трубопроводе, который входит в критерий , поэтому критерий Эйлера является определяемым. Остальные критерии (в них входят известные величины) – определяющие.

Т.е. критерий есть некая функция от определяющих критериев: .

В частности, при установившемся вынужденном движении (с помощью насосов и компрессоров) потоков в промышленном трубопроводе, когда определяющими являются силы инерции и трения, а роль силы тяжести (собственного веса потока) неизмеримо мала, критерием Фруда пренебрегают и ограничиваются зависимостью .

Согласно III теореме подобия: явления подобны, если их определяющие критерии равны. Следствием выполнения этого условия будет также равенство критериев Эйлера в сходственных точках подобных потоков.

В ряде случаев трудно вычислить ту или иную физическую величину, входящую в критерий подобия. Тогда эту величину исключают путём сочетания двух или более числа критериев. При этом получают производные критерии, составленные из основных критериев. Так, например, при естественной конвекции, возникающий под действием разности плотностей потока, обусловленной различием температур в разных точках объёма потока, очень трудно определить скорость конвекционных токов. Однако эта скорость входит в критерий Фруда, отражающий подобие таких процессов. Поэтому исключают скорость путём сочетания критериев Рейнольдса и Фруда:

.

(1.38)

Полученный безразмерный комплекс величин является производным критерием (состоит из основных критериев) и называется критерием Галилея (). Он является мерой отношения сил тяжести и трения (вязкости) в подобных потоках.

Если умножить критерий Галилея на дробь ( - плотности жидкости в разных точках), отражающую причину возникновения конвекционных токов, то получим новый производный критерий подобия – критерий Архимеда ().:

.

(1.39)

Таблица 1.1

Основные критерии гидродинамического подобия

Критерий	Выражение критерия	Физический смысл критерия
Критерий Рейнольдса		Определяет режим движения потока. Является мерой отношения силы инерции к силе вязкости.
Критерий Фруда		Характеризует действие сил тяжести в подобных потоках. Является мерой отношения силы инерции к силе тяжести.
Критерий Эйлера		Характеризует действие сил давления в подобных потоках. Является мерой отношения силы давления к силе инерции.