Метод хорд

Табличный способ отделения корней

Отделение корней также нередко выполняют с помощью табличного представления зависимости f(x). Для этого формируют таблицу, в которую заносят ряд последовательно расположенных на оси x точек x_i и вычисленные в них значения левой части уравнения f(x_i).

Затем в таблице выбирают те пары рядом расположенных точек, между которыми функция f(x) меняет свой знак. При этом для обнаружения корня по сути дела используется тот же признак, что и при графическом исследовании − изменение знака функции.

Метод половинного деления

Другие названия: метод бисекции, метод дихотомии (от греч. δ ί χ α − на две части и τ ο μ ή − сечение).

Графически процедура поиска корня уравнения f (x) методом половинного деления показана на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Метод хорд

Этот итерационный метод подобно рассмотренному выше методу половинного деления заключается в повторяющемся делении интервала на две части с выбором из них той, которая содержит корень уравнения. Однако в методе хорд точка, с помощью которой исходный отрезок [ a, b ] делится на две части, выбирается не как средняя, а вычисляется с помощью линейной интерполяции функции f (x) на [ a, b ].

Рис. 4.2

Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации)

Этот метод в отличие от ранее рассмотренных не требует предварительно указывать интервал, в котором располагается корень уравнения. Для начала работы требуется задать лишь одну начальную точку x 0, расположенную вблизи от предполагаемого корня. Направление поиска определяется из этой точки с помощью линейной экстраполяции f (x). Таким образом, при начале расчета из заданной точки x ₀ определяется точка x ₁, затем из точки x ₁ рассчитывается x ₂ и так далее. Продолжение этого процесса далее дает последовательность чисел x ₀, x ₁, x ₂, x ₃, …, x_i, … последовательно приближающихся к корню уравнения.

Рис. 4.3

Варианты заданий

Вариант 1. Заземлитель в форме кольца радиусом r расположен в грунте на глубине h. Его сопротивление при h > > r рассчитывается по формуле

где π = 3, 14…, G − электропроводность грунта, d − диаметр проводника из которого изготовлено кольцо.

Задавшись параметрами h и d, указанными в таблице, а также приняв G = 0, 03 1/Ом⋅ м, найдите радиус r, обеспечивающий требуемое сопротивление заземления R.

Вариант 2. Электрическая емкость системы двух параллельных пластин прямоугольной формы (см. рисунок) при a ≥ d и b ≥ d может быть определена по формуле

где ε ₁ − относительная диэлектрическая проницаемость среды, ε ₀ = 8, 85⋅ 10^–12 Ф/м; a и b − размеры пластин; d − расстояние между пластинами, π = 3, 14

Найдите зазор d, обеспечивающий получение требуемой емкости C при указанных в таблице параметрах.

Вариант 3. Для экспериментально полученной прямой ветви вольтамперной характеристики полупроводникового диода при u < 0, 6 В подобрана аппроксимация в виде степенного многочлена:

где ток i задан в миллиамперах, напряжение u – в вольтах.

Используя аппроксимацию, найдите напряжение на диоде, при котором через него будет протекать заданный в таблице ток i.

При составлении уравнения используйте указанные в таблице параметры a, b, c, d и e.

Вариант 4. Экспериментально установлено, что зависимость деформации z конусной пружины от приложенной силы F можно рассчитать по формуле

где A, B, C и D − постоянные, определяющиеся конструкцией пружины. При подстановке в формулу значения силы F в ньютонах деформация z определяется в миллиметрах.

Задавшись приведенными в таблице параметрами A, B, C и D, определите силу F, удовлетворяющую указанному значению z.

Порядок выполнения работы

1. На основании полученного задания определите вид уравнения, которое требуется решить. Проведите графическое исследование уравнения.

2. Решите задачу в пакете MathCAD, используя метод Ньютона, метод деления отрезка пополам, метод хорд, а также встроенную функцию поиска корней уравнения root

3. Сравните полученные результаты.

4. Оформите отчет по работе.

Пример выполнения работы

Коэффициент нелинейности полупроводникового нелинейного резистора (варистора) β определяется как отношение статического R и дифференциального r сопротивлений. При заданном постоянном напряжении зависимость β от температуры описывается выражением

где Т – температура активной области варистора, Т ₀ – температура окружающей среды, K – коэффициент температурной чувствительности рабочего слоя варистора.

Найдите значение Т, при котором обеспечивается заданное значение β =1, 5 для известных K=700К и Т₀.= 303К

1. Запишем решаемое уравнение с учетом известных коэффициентов:

,

Проведем графический анализ этого уравнения

Из графического анализа можно сделать вывод, что уравнение имеет корень в районе 330 К. Поэтому в качестве начального приближения для метода Ньютона возьмем значение 330. Для методов хорд и дихотомии возьмем участок от 300 до 350.

Решим это уравнение методом Ньютона

	Задаем критерии окончания вычислений
	Функция newton возвращает значение аргумента, рассчитанного методом Ньютона, при котором функция f обращается в нуль. Аргументы функции newton: · начальное приближение (хо); · точность вычислений (eps). · имя функции, у которой ищется минимум (f);
	Задание начального приближения и точности
	Вычисление корня уравнения методом Ньютона. res – переменная, содержащая решение уравнения

Решим это уравнение методом деления отрезка пополам

	Функция Dichotom возвращает значение аргумента, рассчитанного методом деления отрезка пополам, при котором функция f обращается в нуль. Аргументы функции Dichotom: · левое значение интервала неопределенности (a); · правое значение интервала неопределенности (b). · точность вычислений (eps). · имя функции, у которой ищется минимум (y);
	Определение интервала Вычисление корня уравнения методом половинного деления. res – переменная, содержащая решение уравнения

Решим это уравнение методом хорд

	Функция hord возвращает значение аргумента, рассчитанного методом хорд, при котором функция f обращается в нуль. Аргументы функции hord: · левое значение интервала неопределенности (a); · правое значение интервала неопределенности (b). · точность вычислений (eps). · имя функции, у которой ищется минимум (y)
	Определение интервала Вычисление корня уравнения методом хорд. res – переменная, содержащая решение уравнения

Решим это уравнение средствами встроенной функции MathCAD

Изменим точность вычислений Зададим начальное приближение Переменная res содержит решение уравнения при помощи функции root

Контрольные вопросы

1. Опишите свойства алгебраических и трансцендентных уравнений.

2. Для чего производится процедура отделения корней и предварительное исследование уравнений.

3. Приведите примеры известных вам способов исследования нелинейных уравнений.

4. Что понимают под сходимостью итерационной процедуры?

5. Поясните, что такое скорость сходимости и как она связана с эффективностью метода.

6. Опишите метод половинного деления.

7. Опишите метод хорд. Назовите его достоинства и недостатки.

8. Опишите метод касательных. Укажите его достоинства и недостатки.

9. Для чего используется нормировка уравнений при их решении на ЭВМ?

10. Назовите три основных источника погрешностей при решении задач на ЭВМ, их природу и способы уменьшения.

11. Назовите функцию MathCAD предназначенную для вычисления корней уравнений. Приведите пример использования.