Теоретические основы метода. Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяло бы начальному условию .

Пусть дана задача Коши:

(5.1)

Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяло бы начальному условию .

Если удастся проинтегрировать аналитически первое уравнение системы (5.1), то нет смысла использовать численные методы. Поэтому в дальнейшем речь пойдет о дифференциальных уравнениях, общее решение которых невозможно представить в конечном виде.

В силу того что необходимо найти функцию, а компьютер обычно оперирует числами, решение задачи будем искать в виде точек с координатами (x, y), лежащих на решении. Речь идет о табличном задании функции. Поэтому задачу сформулируем следующим образом: найти решение задачи Коши (5.1) с заданной точностью e на некотором отрезке [a, b], где a, b – известные числа, причем x₀Î [a, b], xÎ [a, b].

Допустим, что x₀ = a. Отрезок интегрирования [a, b] разобьем на n одинаковых отрезков длиной . При этом получим n+1 граничную точку, т.е. a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b, x_i = x₀ + i h, i=1, 2, …, n.

Рассмотрим первое уравнение системы (5.1) для первого из полученных отрезков, т.е. для [a, x₁]. Производную заменим конечной разностью

. (5.2)

Тогда из дифференциального уравнения системы (1) получим

,

откуда

В первом соотношении непосредственным вычислением может быть определена правая часть. В итоге найдем вторую точку (x₁, y₁), лежащую на решении.

Аналогично рассмотрим второй из отрезков [x₁, x₂], для которого получим

.

Тогда

где (x₂, y₂) - третья точка, лежащая на решении.

Для шага с номером к на отрезке [, x_к, x_к+1] получим

,

откуда

(5.3)

Соотношения (5.3) - расчетные формулы схемы Эйлера в случае, когда производная заменена линейным соотношением (5.2).

Заданная точность будет достигнута, если для одного и того же значения x имеет место неравенство

,

где y^h - решение, найденное с шагом h; y^h/2 - решение, найденное по вышеприведенной схеме, в которой шаг уменьшен вдвое относительно исходного решения.

Из курса математического анализа известно, что более высокая точность достигается при замене функций полиномами более высокого порядка. Рассмотренная схема Эйлера имеет первый порядок. Более высокой точностью обладает схема Рунге-Кутта, расчетные формулы которой имеют вид:

; ;

;

Вопросы достижения заданной точности схемы Рунге-Кутта тождественны аналогичным вопросам схемы Эйлера.

Лабораторная работа № 6

Аппроксимация опытных данных