Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Лабораторна робота №4. Тема: наближення (інтерполяція) функцій






ТЕМА: Наближення (інтерполяція) функцій

 

4.1 Теоретичні відомості

Задача наближення функції виникає, коли для функції, даної при дискретних значеннях аргументу у вигляді таблиці (ці значення називаються вузлами інтерполяції) необхідно знайти значення функції в проміжних крапках. Накладаючи вимогу, щоб наближена функція у вузлах співпадала з табличними значеннями (рис. 4.1), одержуємо задачу інтерполяції.

 

 

Рисунок 4.1 – Графік наближеної функції

 

Нехай в результаті спостережень за ходом деякого процесу побудована таблиця:

 

x x0 x1 x2 xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(xn)

 

Тобто, функція f(x) задана таблицею значень для кінцевої безлічі значень х.

Якщо необхідно знайти значення f(x) для проміжного значення аргументу, то будують функцію φ (x), просту для обчислень і таку, що для заданих x0, x1, x2,..., xn приймає значення f(x0), f(x1), f(x2),..., f(xn).

В інших точках відрізка [x0, xn] вважаємо, що φ (x) приблизно визначає функцію f(x) з тим чи іншим ступенем точності.

Найчастіше, функцію φ (x) представляють у вигляді алгебраїчного багаточлена деякого ступеня.

Найпростіша інтерполяція – це лінійна, тобто, коли невідому аналітичну залежність f(x) замінюють відрізками прямих, які проходять через відповідні вузли інтерполяції. В цьому випадку потрібно визначити якому відрізку належить надане х* і за формулою лінійної інтерполяції знаходять f(x*). Якщо xi < = x* < = xi+1, то відповідна пряма проходить через вузли (xi, f(xі)), (xi+1, f(xі+1)):

(4.1)

 

Точність підрахунків в цьому випадку незначна, тому що враховується вплив тільки 2-ох вузлів інтерполяції. Частіше будують багаточлен Pn(x) ступеня n, що в (n+1) даних точках x0, x1, x2,..., xn. приймає дані значення y0 = f(x0), y1 = f(x1), …, yn = f(xn), тобто

f(xі) = Pn(xі), (і = 0, 1, 2,..., n).

Відзначимо, що двох різних інтерполяційних багаточленів одного і того же ступеня n існувати не може. Цим умовам задовольняє інтерполяційний багаточлен Лагранжа:

(4.2)

 

Тоді

 

4.2 Індивідуальні завдання

 

Для кожного варіанту обчислити наближене значення функції, яка задана таблицею, для наданого х*, використовуючи лінійну інтерполяцію по Лагранжу.

 

4.2.1 х* = 1, 50

 

x 1, 21 1, 29 1, 45 1, 61 1, 94 2, 22
y 3, 54 4, 11 4, 78 4, 33 4, 01 3, 66

4.2.2 х* = 0, 45

 

x 0, 24 0, 39 0, 65 0, 88 0, 94 1, 12
y 2, 18 1, 98 1, 73 1, 13 1, 01 1, 34

 

4.2.3 х* = 0, 66

 

x 0, 28 0, 42 0, 56 0, 63 0, 84 0, 98
y 5, 26 6, 21 6, 66 6, 93 7, 25 5, 99

 

4.2.4 х* = 3, 2

 

x 2, 10 2, 19 2, 35 2, 51 2, 82 3, 33
y 8, 54 8, 11 7, 78 7, 03 6, 77 7, 86

 

4.2.5 х* = 3, 50

 

x 3, 12 3, 28 3, 54 3, 72 3, 88 4, 12
y 7, 04 6, 50 6, 11 5, 23 4, 81 6, 12

 

4.2.6 х* = 0, 85

 

x 0, 25 0, 54 0, 65 0, 80 0, 94 1, 12
y 0, 54 0, 91 1, 78 2, 33 2, 81 3, 66

 

4.2.7 х* = 1, 74

 

x 1, 26 1, 39 1, 55 1, 71 2, 08 2, 20
y 1, 58 4, 06 3, 98 3, 46 3, 12 2, 42

 

4.2.8 х* = 4, 51

 

x 4, 02 4, 38 4, 44 4, 58 4, 74 4, 98
y 10, 54 4, 82 4, 93 5, 14 5, 92 7, 12

 

4.2.9 х* = 1, 90

 

x 1, 22 1, 69 1, 85 2, 22 2, 46 2, 72
y 0, 52 0, 98 1, 78 2, 33 2, 01 1, 66

 

4.2.10 х* = 3, 82

 

x 3, 41 3, 59 3, 75 3, 89 4, 00 4, 18
y 4, 50 4, 19 3, 81 4, 33 3, 66 2, 84

 

4.2.11 х* = 2, 22

 

x 2, 12 2, 42 2, 65 2, 71 2, 99 3, 12
y 1, 50 1, 92 2, 78 2, 03 3, 16 2, 88

 

4.2.12 х* = 5, 32

 

x 5, 13 5, 29 5, 45 5, 61 5, 84 6, 22
y 1, 54 1, 11 1, 78 1, 33 1, 01 2, 66

 

4.2.13 х* = 1, 35

 

x 1, 21 1, 29 1, 45 1, 61 1, 92 1, 22
y 3, 54 4, 11 4, 78 4, 33 4, 01 3, 66

 

4.2.14 х* = 0, 80

 

x 0, 22 0, 42 0, 63 0, 78 0, 82 0, 99
y 6, 52 6, 88 7, 55 6, 15 7, 92 8, 02

 

4.2.15 х* = 2, 85

 

x 2, 22 2, 39 2, 55 2, 72 2, 84 3, 02
y 2, 54 2, 11 2, 78 3, 33 2, 01 4, 66

 

4.2.16 х* = 0, 60

 

x 0, 28 0, 49 0, 65 0, 71 0, 96 1, 22
y 3, 54 4, 11 4, 78 4, 33 4, 01 3, 66

 

4.2.17 х* = 1, 52

 

x 1, 12 1, 29 1, 45 1, 61 1, 94 2, 22
y 3, 54 4, 11 3, 08 4, 33 4, 01 6, 06

 

4.2.18 х* = 3, 50

 

x 3, 12 3, 29 3, 45 3, 66 3, 84 4, 02
y 3, 54 2, 11 1, 78 1, 33 2, 01 0, 54

 

4.2.19 х* = 1, 44

 

x 1, 18 1, 39 1, 55 1, 71 2, 94 3, 32
y 6, 54 4, 11 3, 78 6, 33 3, 51 3, 04

 

4.2.20 х* = 0, 56

 

x 0, 12 0, 31 0, 45 0, 61 0, 98 1, 32
y 2, 54 3, 22 3, 58 3, 13 4, 01 4, 26

 

4.2.21 х* = 1, 82

 

x 1, 22 1, 29 1, 55 1, 71 2, 04 2, 32
y 3, 04 2, 77 2, 44 2, 08 2, 84 1, 86

 

4.2.22 х* = 2, 50

 

x 2, 32 2, 49 2, 65 2, 81 3, 04 3, 18
y 3, 54 4, 11 4, 78 4, 33 4, 01 5, 66

 

4.2.23 х* = 3, 35

 

x 3, 12 3, 29 3, 45 3, 61 3, 94 3, 22
y 4, 54 5, 11 5, 78 5, 33 6, 02 6, 66

 

4.2.24 х* = 1, 50

 

x 1, 32 1, 29 1, 44 1, 66 1, 98 2, 26
y 3, 54 3, 11 2, 78 2, 33 4, 01 2, 16

 

4.2.25 х* = 1, 56

 

x 1, 28 1, 39 1, 49 1, 61 1, 94 2, 22
y 0, 56 0, 88 1, 78 2, 33 2, 01 2, 66

 

4.2.26 х* = 1, 08

 

x 0, 07 1, 29 1, 45 1, 61 1, 94 2, 22
y 3, 54 4, 11 4, 78 4, 33 4, 22 3, 66

 

4.2.27 х* = 3, 33

 

x 3, 12 3, 39 3, 48 3, 61 3, 94 3, 22
y 3, 54 3, 11 2, 78 2, 33 4, 01 2, 16

 

4.2.28 х* = 1, 44

 

x 0, 88 1, 26 1, 35 1, 58 1, 74 1, 98
y 2, 46 2, 71 2, 98 3, 33 3, 00 3, 37

 

4.2.29 х* = 1, 50

 

x 1, 42 1, 59 1, 65 1, 71 1, 94 2, 22
y 5, 12 4, 12 3, 76 3, 50 4, 01 2, 83

 

4.2.30 х* = 1, 74

 

x 1, 12 1, 29 1, 45 1, 61 1, 94 2, 22
y 2, 54 2, 11 2, 78 2, 33 2, 01 2, 66

 

4.3 Приклади виконання лабораторної роботи

 

Приклад 4.3.1 Обчислити наближене значення функції, заданої у вигляді таблиці для х*=0, 702, використовуючи лінійну інтерполяцію.

Вирішимо задачу у середовищі Excel. На листі з ім’ям “Лін_інтерполяція” розмістимо надану таблицю значень, як показано на рис. 4.1.

 

 

Рисунок 4.1 – Зразок листа Excel “Лін_інтерполяція”

 

Для цього до клітини D2 введемо формулу (4.1):

 

= ЕСЛИ(И($С$2> =A2; $C$2< =A3); B2+($C$2–A2)*(B3–B2)/(A3-A2): “”)

 

Використовуючи маркер заповнювання, копіюємо формулу до клітини С3: С6. Якщо х* є [ x0, xn], то відповідне y* буде підраховане, як показано на рис. 4.2.

Якщо x* не належить [ x0, xn] будемо мати пустий стовпчик С, тобто лінійну інтерполяцію в цьому випадку не можна використовувати.

Протокол рішення зображено на рис. 4.2.

 

 

Рисунок 4.2 – Протокол рішення

 

Приклад 4.3.2 Обчислити наближене значення функції, заданої у вигляді таблиці для х*=0, 702, використовуючи інтерполяцію по Лагранжу.

Як і у попередньому прикладі, можна розмістити початкові дані, тобто значення х*, та таблицю значень на листі Excel з ім’ям „Лагранжа”, як показано на рис. 4.3.

 

 

Рисунок 4.3 – Зразок листа Excel „Лагранжа”

 

Помістимо об’єкт – „командна кнопка” з ім’ям CommandButton1, змінимо відповідні властивості Caption, Font. Зв’яжемо з подією Click на кнопці процедуру побудови інтерполяційного багаточлена Лагранжа, та підрахунку значення функції для заданого х*=0, 7.

 

 

Текст процедури:

 

Протокол рішення зображено на рис. 4.4.

 

 

Рисунок 4.4 – Протокол рішення прикладу







© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.