Метод Ньютона (метод дотичних)

Умови збіжності методу припускають, що ƒ ' (x) і ƒ '' (x) зберігають знак на проміжку [a; b].

Уточнення значення кореня проводиться шляхом побудови збіжності послідовності.

х_к = х_{к – 1} - ƒ (х_{к – 1}) / ƒ ' (х_{к – 1}), к = 1, 2, 3,... (1.8)

За х₀ приймаємо той з кінців проміжку [a; b], на якому виконується умова

ƒ (х₀) * ƒ ''(х₀) > 0 (1.9)

Поведінка послідовних наближень при ƒ (а) < 0, ƒ '' (а) < 0 (а); ƒ (а) > 0, ƒ '' (а) > 0 (б) ілюструється на рис. 1.3.

Рисунок 1.3 – Графічне відображення методу дотичних

Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5), або (1.7).

1.2.4 Використання пакету аналізу „что - если” Excel

Чисельний аналіз даних зазвичай відбувається через меню „Сервис”. Інструмент „Подбор параметра” дозволяє знайти значення аргументу, задовольняючого наданому значенню функції. Якщо необхідно вирішити рівняння ƒ (x) = 0, треба визначити адресу клітини, куди буде занесене початкове значення кореня. Саме рівняння ƒ (x) записується в іншій клітині з посиланням на першу. У вікні „Подбор параметра” вказуємо початкові значення параметрів, зразок на рис.1.4.

Рисунок 1.4 – Вікно „Подбор параметра”

Для уточнювання знайденого рішення потрібно в меню „Сервис / Параметри” на вкладниці „Вычисления” змінити значення відповідних параметрів: кількість ітерацій; погрішність.

1.3 Індивідуальні завдання

Для кожної функції визначити числовий проміжок у якому міститься один корінь рівняння, уточнити значення кореня вказаними вище методами.

1.3.1 1.3.2

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

1.3.3 1.3.4

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.5 1.3.6

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) , .

1.3.7 1.3.8

1) ; 1) ;

2) ; 2)

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.9 1.3.10

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.11 1.3.12

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

1.3.13 1.3.14

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.15 1.3.16

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) ,.

1.3.17 1.3.18

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

1.3.19 1.3.20

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.21 1.3.22

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

1.3.23 1.3.24

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.25 1.3.26

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) , .

1.3.27 1.3.28

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.29 1.3.30

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) ,

1.4 Приклади виконання лабораторної роботи

Приклад 1.4.1 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 з точністю ε = 0, 001 методом бісекцій.

1) Відокремимо корінь рівняння графічно, для чого дане рівняння представимо у вигляді lg x = - x + 2.

Побудуємо графіки функцій y = lg x i y = - x + 2.

Рисунок 1.5 – Графічне відокремлення кореня рівняння

З рис. 1.5 видно, що шуканий корінь лежить на інтервалі [1; 2]. Перевіримо умову ƒ (а) * ƒ (b) < 0:

ƒ (1) = 2-lg 1 – 1 = 1 > 0

ƒ (2) = 2-lg 2 – 2 ≈ -0, 301 < 0,

тобто а₁ = 1; b₁ = 2.

2) Напишемо програму чисельного розв’язання вказаного рівняння методом бісекцій, для чого на „Лист1” Excel помістимо об’єкт – „командна кнопка ” з ім’ям CommandButton1, як показано на рис. 1.6.

Щоб вбудувати кнопку на Лист, виконайте наступні дії:

1) активізуйте кнопку „Конструктор” на панелі інструментів Visual Basic;

2) активізуйте панель „Елементи керування” за допомогою кнопки .

3) клацніть мишею на елементі керування „Кнопка”, а потім клацніть на Лист1 Excel. З’явиться кнопка з написом CommandButton1.

4) у вікні властивостей „Кнопки” змініть властивості:

− Caption: текст „CommandButton1” на текст „Уточнення методом бісекцій”;

− Font: зазначений розмір 12 і жирний;

− Multiline: True;

− WordWrap: True.

5) щоб зв’язати з подією Click на кнопці процедуру уточнення кореня рівняння методом бісекцій, двічі клацніть на самій кнопці. Відкриється вікно модуля, в якому написано заголовок процедури:

Sub CommandButton1_Click()

Перш, ніж записати відповідну програму, змінимо ім’я листа книги Excel: „Лист1” на „прим1”.

Рисунок 1.6 – Приклад розташування командної кнопки на листі Excel

Текст процедури:

Виходимо із режима „Конструктор”.

Введемо початкові значення для а, b, ε у відповідні клітини листа „прим1”. Натискаючи на командну кнопку, результати уточнювання кореня побачимо також на листі „прим1”, як на рис. 1.7.

Рисунок 1.7 – Результат обчислень за методом бісекцій

Приклад 1.4.2 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 з точністю ε = 0, 001 методом хорд.

1) Відокремимо корінь рівняння звичайним табулюванням функції на інтервалі [a; b] в середовищі Excel. Значення а, b підбираємо таким чином, щоб вказана функція існувала і була неперервна. Кількість розподілу інтервалу задаємо такою, щоб шаг (крок) зміни змінної був значимим.

В клітину E2 введемо формулу: = (C2 – B2) / D2, в B5: = B2, в B6: = B5 + $E$2, в C5: = 2 – LOG10(B5) – B5, в клітину А2 введемо значення точності обчислень ε, як показано на рис. 1.8.

Рисунок 1.8 – Зразок заповнення клітин початковими даними

Таблицю заповнюємо за допомогою маркера заповнення ↓. Шукаємо проміжок для х, де функція змінює свій знак на протилежний. Якщо такої зміни не відбувається, то достатньо змінити значення а, b в клітинах A2, B2. Автоматичний перерахунок в таблиці визначить нові значення функції. Так можна робити доки в таблиці не з’являться різні за знаками значення у. У нашому випадку х є [1, 66; 2, 44], як показано на рис. 1.9.

Рисунок 1.9 – Приклад вибору проміжку для х

Як і в попередньому випадку розміщуємо командну кнопку на Лист2 з ім’ям CommandButton1, змінюємо відповідні властивості: Caption текст „CommandButton1” на текст „Уточнення методом хорд”. Зв’яжемо з подією Click на кнопці процедуру уточнення кореня рівняння методом хорд.

Знайдемо другу похідну:

.

Створимо дві функції користувача.

Текст процедури:

Зразок протоколу рішення наведено на рис. 1.10.

Рисунок 1.10 – Протокол рішення

Приклад 1.4.3 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 з точністю ε = 0, 001 методом дотичних.

1) Відокремимо корінь рівняння одним з двох способів.

2) Створимо форму, в якій розмістимо такі елементи керування:

− Написи Label1, Label2, Label3, Label4, Label5, у яких властивості Caption змінені на тексти, зазначені на рис. 1., тобто: eps =, a =, b =, корінь =, значення функції =. Крім того, у написів змінена властивість Font – шрифт, жирность;

− Текстові поля TextBox1 – для введення значення ε; TextBox2, TextBox3 – для введення значень інтервалу а, b; TextBox4, TextBox5 – для виведення результатів розрахунку. Також для цих елементів керування змінені властивості Name на te, ta, tb, xk, fun відповідно;

− Командна кнопка CommandButton1, з якою зв’язується процедура введення та уточнювання кореня методом дотичних. Для неї змінена властивість Caption на текст „Рішення нелінійних рівнянь методом дотичних”.

Зразок форми наведений на рис. 1.11.

Рисунок 1.11 – Приклад форми

Перш ніж написати процедуру визначимось з похідними:

ƒ (х) = 2 - lg х – х

На рис. 1.12 наведена форма в процесі роботи. Користувач повинен ввести числа: eps, a, b в текстові поля і клацнути на кнопці „Уточнення методом дотичних”. Там же з’являться результати роботи програми.

Рисунок 1.12 – Зразок форми в процесі роботи

Текст програми:

Приклад 1.4.4 Розв’язати нелінійне рівняння 2 - lg x – x = 0 методами чисельного аналізу Excel.

1) Відокремимо початкове значення кореня рівняння одним з вказаних вище способів.

2) Шукаємо рішення в клітині A2, заносимо початкове значення кореня, наприклад, 1, рис. 1.

Саме рівняння запишемо в B2: = 2 – LOG10(A2) – A2. Використовуємо меню Сервис / Подбор параметра. У вікні вказуємо аргументи, як на рис. 1.13.

Рисунок 1.13 – Вікно „ Подбор параметра”

Рішення побачимо в клітинах A2 та B2, як показано на рис. 1.14.

Рисунок 1.14 – Результати обчислень