Метод стрельбы

1.9.1. Методические указания

Метод стрельбы рассматривается для граничной задачи системы дифференциальных уравнений

(9.1)

Необходимо найти решение системы уравнений, удовлетворяющей граничным условиям на интервале

; (9.2)

, (9.3)

где и могут быть нелинейными функциями.

Сущность метода стрельбы – сведение граничной задачи к многократному решению задачи Коши.

Положим , где L – произвольное число.

Подставим в первое граничное условие

(9.4)

Это соотношение рассматриваем как уравнение относительно , решаем его, получаем начальные условия L и , для которых строим задачу Коши для системы (9.1).

Для решения задачи Коши применяем метод Рунге-Кутта, получаем решение в конечной точке :

. (9.5)

Полученные результаты (9.5) подставляем во второе граничное условие (9.3).

Оно, естественно, не выполняется, т.к. L выбрано произвольно

. (9.6)

Решаем как уравнение относительно переменной L. Корень этого уравнения L=L* будет удовлетворять граничному условию (9.6).

Решение уравнения (9.6) выполняется методом секущих

, (9.7)

где j - номер итерации.

Для линейной задачи решение уравнения (9.6) упрощается.

Получаем следующий алгоритм:

1. Выбор числа и определение из уравнения (9.2).

2. Решается полученная задача Коши методом Рунге-Кутта, в результате чего определяется и .

3. Проверка условия (9.3) и определение нового L методом секущих (9.7),

4. Повторение итерации с п.1, процесс завершается, если удовлетворяется второе граничное условие с заданной точностью .

1.9.2. Порядок выполнения работы

1. Составьте программу метода стрельбы для уравнения Бесселя в соответствии с данными табл.1.4 на интервале [0, 5; 1, 0].

Уравнение можно представить в виде системы

(9.8)

(9.9)

где p – параметр, определяющий порядок цилиндрической функции, являющейся решением уравнения Бесселя (р =1).

2. Проведите вычисления в соответствии с вариантом табл. 1.4 с точностью .

3. Ответьте на вопросы

1. От каких причин зависит погрешность данного метода?

2. Каков порядок построения алгоритма метода стрельбы?

3. Как получить из системы (9.8) уравнение Бесселя второго порядка?

Таблица 1.4