Задание. 1. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью

1. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью . Проанализировать результаты решения (в зависимости от других значений ).

2. Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Решение:

1)

Задана система линейных алгебраических уравнений:

Запишем эту систему в матричном виде :

, .

Для решения этой системы воспользуемся пакетом MS Excel. Откроем новый лист с названием «Задание 2».

Перво-наперво, решим систему с использованием надстройки «Поиск решения». Для этого используем ячейки A 3: H 5, где будут заданы коэффициента матрицы (A 3: C 5), вектора (D 3: D 5), вектора (H 3: H 5), а также значения произведения (E 3: E 5) и невязки (F 3: F 5). После чего запускаем надстройку «Поиск решения» и находим в ячейки H 3: H 5значения неизвестных: , , .

2)

Найдем решение заданной системы методом Якоби.

Нужно отметить следующее, наша система не содержит преобладания диагональных элементов, поэтому ее решение итерационными методами может со спокойной совестью разойтись.

Приведем систему к нормальному виду:

В матричном виде : , .

На листе «Задание 2» введем исходные данные: матрицу в ячейки B 10: D 12, вектор в ячейки E 10: E 12. Точность расчетов в ячейку G 10. Номера итераций будем записывать в стоку 13. В качестве нулевого приближения берем вектор и записываем его в ячейки B 14: B 16. В ячейки C 14: C 16 записываем первую итерацию метода Якоби, т.е. записываем в ячейку C 14 формулу:

= МУМНОЖ($ B $10: $ D $12; B 14: B 16 )+ $ E $10: $ E $12.

После чего выделяем ячейки C 14: C 16, нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.

Для определения достижения нужной точности в строчках 17, 18 и 19 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 20 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:

C 17: = B 14– C 14

C 18: = B 15– C 15

C 19: = B 16– C 16

C 20: =МАКС(C 17: C 19)

Далее выделяем ячейки C 14: C 20 и автозаполняем ими столбцы с C по Q. Т.о. мы получили 15 итераций, причем с каждой итерацией критерий увеличивается и никогда не становится меньше, чем указанная точность . На 15-ой итерации решение имеет вид , , . Эти приближенные решения хранятся в ячейках Q 14: Q 16. Т.о. мы получили расходящийся итерационный процесс в связи с непреобладанием диагональных элементов матрицы исходной системы.

Рис. 1.

Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B 13: Q 16. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Задание 2». Перенесем эти графики в Word рис. 1. Как видно из рис.1. решение расходится.

3)

Найдем решение заданной системы методом Якоби.

Для достижения сходимости данного итерационного метода нужно преобразовать исходную систему к виду с преобладанием диагональных элементов. Для этого при приведении системы к нормальному виду мы сменим местами некоторые уравнения.

Приведем систему к нормальному виду:

В матричном виде :

, .

На листе «Задание 2. Якоби» введем исходные данные: матрицу в ячейки , вектор в ячейки . Точность расчетов в ячейку . Номера итераций будем записывать в стоку 7. В качестве нулевого приближения берем вектор и записываем его в ячейки . В ячейки записываем первую итерацию метода Якоби, т.е. записываем в ячейку формулу:

= МУМНОЖ($ B $4: $ D $6; B 8: B 10 )+ $ E $4: $ E $6.

После чего выделяем ячейки , нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.

Для определения достижения нужной точности в строчках 11, 12 и 13 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 14 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:

C 11: =B 8 –C 8

C 12: =B 9 –C 9

C 13: =B 10– C 10

C 14: =МАКС(C 11: C 13)

Далее выделяем ячейки C 8: C 14 и автозаполняем ими столбцы с C по Q. Т.о. мы получили 15 итераций, причем на 15-й итерации критерий , т.е. наше решение сошлось к точному и имеет вид: , , . Эти приближенные решения хранятся в ячейках Q 8: Q 10.

Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B 7: Q 10. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Метод Якоби». Перенесем эти графики в Word рис. 2. Как видно из рис.2. решение сходится.

Рис. 2.

Предположив теперь, что точность расчетов составляет мы можем убедится, что для достижения такой точности достаточно 9 итераций. Откуда можно сделать вывод, что решение системы сходится не монотонно и не очень быстро.

4)

Решим заданную систему методом Гаусса–Зейделя. Используем для этого приложение MS Excel. Откроем новую страницу с названием «Задание 2. Зейдель». Аналогично с методом Якоби задаем исходные данные матрицу в ячейки B 4: D 6, вектор в ячейки E 4: E 6. Точность расчетов в ячейку G 4. Номера итераций будем записывать в стоку 7. В качестве нулевого приближения берем вектор и записываем его в ячейки B 8: B 10. В ячейки C 8: C 10 записываем первую итерацию метода Гаусса–Зейделя, т.е. записываем формулы:

C 8: = $ E $4 + $ B $4* B8+ $ C $4* B 9 + $ D $4* B 10

C 9: = $ E $5+$ B $5* C 8+$ C $5* B 9+$ D $5* B 10

C 10: =$ E $6+$ B $6* C 8+$ C $6* C 9+$ D $6* B 10

В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.

Для определения достижения нужной точности в строчках 11, 12 и 13 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 14 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:

C 11: = B 8– C 8

C 12: = B 9– C 9

C 13: = B 10– C 10

C 14: =МАКС(C 11: C 13)

Далее выделяем ячейки C 8: C 14 и автозаполняем ими столбцы с C по L. Т.о. мы получили 10 итераций, причем уже на 5-й итерации критерий , т.е. наше решение сошлось к точному и имеет вид: , , . Эти приближенные решения хранятся в ячейках G 8: G 10.

Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B 7: L 10. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Метод Зейделя». Перенесем эти графики в Word рис. 3. Как видно из рис. 3. решение сходится.

Предположив теперь, что точность расчетов составляет мы можем убедится, что для достижения такой точности достаточно 3 итераций. Откуда можно сделать вывод, что решение системы сходится монотонно и быстро.

Рис. 3.