Уравнение теплопроводности.

- температура в точке с координатой в момент времени

- коэффициент теплопроводности.

Любое уравнение параболического типа с постоянными коэффициентами путем соответствующих преобразований (поворотом системы координат в пространстве и изменением начала координат) может быть приведено к следующему виду:

- каноническая форма уравнения параболического типа.

Уравнение теплопроводности - параболическое уравнение. Для его решения необходимо дополнить начальными и граничными условиями.

- задает распределение температуры в начальный момент времени.

- температура на левой границе

- температура на правой границе

Граничные условия могут иметь и другой вид они могут накладывать ограничение на производную.

Численное решение поставленной задачи основано на введение разностной сетки в области решения задачи. Значение производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему можно найти значение искомой функции в узлах сетки. Построение разностной схемы начинается с введения сетки в рассмотренную область пространства. Наиболее простыми и самыми распространенными являются прямоугольные сетки. Например, для решения задачи можно построить прямоугольную разностную сетку с шагом по координате и шагом по времени .

Можно использовать сетки с неравномерным шагом и даже не прямоугольные сетки. Все зависит от конкретных условий задачи.

Коэффициенты узлов сетки имеют значения:

Этот узел будем обозначать .

Значение искомой функции в узле обозначим . Совокупность этих значений образует сеточную функцию, которая аппроксимирует значение температуры в узлах сетки.

При построении конечно-разностной схемы используется некоторый шаблон, показывающий расположение смежных узлов в двух или более слоях, которые используют при аппроксимации производных конечно-разностными соотношениями. При построении конечно-разностной схемы может использоваться следующий шаблон.

Метод 35

Явная разностная схема для уравнения теплопроводности

Используя шаблон для каждого внутреннего узла области решения апроксимируется уравнение теплопроводности

Отсюда найдем:

Используя начальные и граничные условия, находят значения сеточной функции во всех узлах на нулевом временном уровне.

Затем с помощью соотношений

находятся значения этих функций во всех внутренних узлах на первом временном уровне, после чего находим значение на граничных узлах

В результате мы находим значение функций во всех узлах на первом временном уровне. После этого с помощью этих соотношений находим все остальные значения и т.д.

В рассматриваемой разностной схеме значения искомой функции на следующем временном уровне находится непосредственно, явно с помощью формулы

Поэтому рассматриваемая разностная схема, использующая этот шаблон, называется явной разностной схемой. Точность её имеет порядок .

Данная разностная схема проста в использовании, однако она обладает существенным недостатком. Оказывается, что явная разностная схема обладает устойчивым решением только в том случае, если выполняется условие:

Явная разностная схема является условно устойчивой. Если условие не выполняется, то небольшие погрешности вычислений, например, связанные с округлением данных компьютера приводит к резкому изменению решения. Решение становится неприемлемым для использования. Это условие накладывает весьма жесткие ограничения на шаг по времени, что может оказаться неприемлемым из-за значительного увеличения времени счета решения этой задачи.

Рассмотрим разностную схему, использующую другой шаблон

Метод 36

Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности

Подставим в уравнение теплопроводности:

Это соотношение записывается для каждого внутреннего узла на временном уровне и дополняется двумя соотношениями, определяющими значения в граничных узлах. В результате получается система уравнений для определения неизвестных значений функции на временном уровне.

Схема решения задачи следующая:

С помощью начальных и граничных условий находится значение функции на нулевом временном уровне. Затем с помощью этих соотношений и граничных условий строится система линейных алгебраических уравнений для нахождения значения функции на первом временном уровне, после чего опять с помощью этих соотношений строится система, и находятся значения на втором временном уровне и т.д.

Отличие от явной схемы - значения на очередном временном уровне вычисляются не непосредственно с помощью готовой формулы, а находится путем решения системы уравнений, т.е. значения неизвестных находятся неявно путем решения СЛАУ. Поэтому разностная схема называется неявной. В отличие от явной неявная является абсолютно устойчивой.

Тема №9

Задачи оптимизации.

Эти задачи являются одними из важнейших задач прикладной математики. Под оптимизацией понимают выбор наилучшего варианта из всех возможных решений данной задачи. Для этого необходимо сформулировать решаемую задачу как математическую, придав количественный смысл понятиям лучше или хуже. Обычно в процессе решения необходимо найти оптимизируемые значения параметров. Эти параметры называют проектными. А число проектных параметров определяет размерность задачи.

Количественная оценка решения производится с помощью некоторой функции зависящей от проектных параметров. Эта функция называется целевой. Она строится таким образом, чтобы наиболее оптимальное значение соответствовало максимуму(минимуму).

- целевая функция.

Наиболее просты случаи, когда целевая функция зависит от одного параметра и задаётся явной формулой. Целевых функций может быть несколько.

Например, при проектировании самолёта требуется одновременно обеспечить максимальную надежность, минимальные вес и стоимость и т.д. В таких случаях вводится система приоритетов. Каждой целевой функции ставится в соответствие некоторый целевой множитель в результате получается обобщенная целевая функция(функция компромиссов).

Обычно оптимальное решение ограничено рядом условий связанных с физической функцией задачи. Эти условия могут иметь вид равенств или неравенств

Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследований одного из разделов прикладной математики – математического программирования.

Если целевая функция линейна относительно проектных параметров и ограничения, накладываемые на параметры также линейны, то возникает задача линейного программирования. Рассмотрим методы решения одномерной задачи оптимизации.

Требуется найти значения на при которых целевая функция имеет максимальное значение. Если целевая функция задана аналитически и может быть найдено выражение для её производных, то оптимальное решение будет достигаться либо на концах отрезка, либо в точках в которых производная обращается в ноль. Это критические точки и . Необходимо найти значения целевой функции во всех критических точках и выбрать максимальное.

В общем случае для нахождения решения применяют различные методы поиска. В результате происходит сужение отрезка содержащего оптимальное решение.

Рассмотрим некоторые из методов поиска. Предположим, что целевая функция на промежутке имеет один максимум. В этом случае, разбив узловыми точками , число которых , вычисляют целевую функцию в этих узловых точках. Предположим, что максимальное значение целевой функции будет в узле , тогда можно считать, что оптимальное решение находится на интервале . В результате произведено сужение отрезка, содержащего оптимальное решение. Полученный новый отрезок вновь разбивают на частей и т.д. При каждом разбиении отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшаются в раз.

Предположим, что произведено шагов сужения. Тогда исходный отрезок уменьшается в раз.

То есть, делаем пока выполняется (*)

При этом производится вычислений целевой функции.

Требуется найти такое значение, чтобы выражение (*) было получено при наименьшем

числе вычислений .

 

Метод 37

Метод половинного деления

Рассмотрим метод поиска при . Он называется методом половинного деления, так как на каждом шаге отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшается в два раза.

 

Эффективность поиска можно повысить путём специального выбора точек, в которых вычисляется целевая функция на определённом шаге сужения.

Метод 38

Метод золотого сечения

Одним из эффективных способов является метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется точка для которой выполняется условие

 

 

Таких точек две: =0, 382 +0, 618

=0, 618 +0, 382 .

Отрезок делится точками и а после находится точка, целевая функция в которой максимальна. В результате чего находится изменённый отрезок длинною 0, 618( - ).

Одно значение золотого отрезка для суженного отрезка уже известно, поэтому на каждом последующем шаге требуется вычисление целевой функции только в одной точке (второй точки золотого сечения).

 

Метод 39

Метод покоординатного подъёма (спуска)

Перейдём к рассмотрению задачи оптимизации в случае, когда целевая функция зависит от нескольких значений параметров. Простейшим методом поиска является метод покоординатного подъёма (спуска).

Задаётся исходная точка . Затем фиксируются все координаты, кроме первой, в результате получаем целевую функцию, зависящую от одного проектного параметра

.

Для этой функции находится максимальное значение и точка, в которой этот максимум достигается.

Затем фиксируем все координаты, кроме , и получаем целевую функцию, зависящую также только от одного параметра. . Затем находим таким же способом остальные значения, пока не найдём . Это будет означать окончание первого итерационного шага и получение точки . Затем мы повторяем процедуру, пока не достигнем заданной точности.

 

 

 

 

 

 

Метод 40

Метод градиентного подъёма (спуска)

Более эффективен метод градиентного подъёма (спуска).

Нужно выбрать начальную точку и вычисляют значение градиента целевой функции в этой точке. Градиент определяет направление наибыстрейшего возрастания целевой функции из точки . Затем делают небольшой шаг в этом направлении и приходят в точку . В этой точке процедуру повторяют и т.д.

Метод 41

Метод наискорейшего подъёма

Модификацией метода градиентного подъёма является метод наискорейшего подъёма. В этом методе после вычисления градиента в точке движутся в направлении градиента, пока целевая функция продолжает возрастать до точки . В точке процедура повторяется.

 

 

 

 

Решение задач математического программирования, то есть задач с ограничением обычно более трудоёмко.

Рассмотрим простейшие задачи линейного программирования. В этом случае целевая функция и условия ограничения – линейны. Линейные ограничения на проектные параметры образуют в пространстве проектных параметров многогранник. Оптимальным решением будет соответствовать одна из вершин этого многогранника. Могут быть случаи, когда оптимальному решению соответствуют все точки на ребре или на целой грани многоугольника

 

 

 

 

 

 

Типичными задачами линейного программирования являются транспортная задача и задача об использовании ресурсов.

Тема №10

 

Задания для самостоятельной проработки

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒