Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
ПРИЛОЖЕНИЕ: Сводка характеристик некоторых численных методов
|
|
ТАБЛИЦА I: МЕТОД ДЕЛЕНИЯ ПОПОЛАМ (ВИЛКИ)
для уравнения f(x) = 0 на [a; b]
| Этап | Общий случай |
| 1. выбор x0 | x0 = a = a0, b0 = b, D0 = |b – a| |
| 2. итерации | xn+1 =  (n Î N), [an+1; bn+1] =  , Dn+1 = 
|
| 3. stop | Dn ³ D или f(xn) ³ D |
Характеристики метода:
- скорость сходимости: |xn – r| £ |xn – xn–1| =
– геометрической прогрессии - порядок сходимости: нет, ведёт непредсказуемо при “переходе” через корень
ТАБЛИЦА II: МЕТОД ХОРД
для уравнения f(x) = 0 на [a; b]
| Этап | Для монотонных выпукло-вогнутых функций |
| 1. выбор x0 | g =  , x0 =  , D0 = b – a
|
| 2. итерации | 
|
| 3. stop | Dn ³ D или f(xn) ³ D |
Характеристики метода:
- скорость сходимости: |xn – r| £
– геометрической прогрессии - порядок сходимости: линейный (первый) |xn+1 – xn| £ c·|xn – xn–1 |1
ТАБЛИЦА III: МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ
для уравнения f(x) = 0 на [a; b]
| Этап | Для монотонных выпукло-вогнутых функций |
| 1. выбор x0 | g = , x0 = , D0 = b – a
|
| 2. итерации |
|
| 3. stop | Dn ³ D или f(xn) ³ D |
Характеристики метода:
- скорость сходимости: |xn – r| £ – геометрической прогрессии
- порядок сходимости: квадратичный (второй) |xn+1 – xn| £ c·|xn – xn–1 |2 для дважды непрерывно дифференцируемых функций
ТАБЛИЦА IV: МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
для уравнения h(x) = x на [a; b]
| Этап | Общий случай | h монотонна | h дифференцируема | h¢ и h¢ ¢ знакопостоянны |
| 1. проверка h([a; b]) Í [a; b]: | аналитически, приближённо по нескольким точкам: если zi Î [a; b], то h(zi) Î [a; b] (1 £ i £ k) | h не убывает: h(a) ³ a, h(b) £ b h не возрастает: h(a) £ b, h(b) ³ a | h¢ ³ 0 на [a; b]: h(a) ³ a, h(b) £ b h¢ £ 0 на [a; b]: h(a) £ b, h(b) ³ a | |
| 2. проверка сжимаемости | аналитически, приближённо по нескольким точкам: если zi Î [a; b], то |h(zi) – h(zj)| £ c·|zi – zj|, 0 < c < 1 (1 £ i < j £ k) |  |h¢ (z)| £ c < 1
| h¢ × h¢ ¢ ³ 0: c = |h¢ (b)| < 1 h¢ × h¢ ¢ £ 0: c = |h¢ (a)| < 1 | |
| 3. выбор x0 | x0 Î [a; b] | h¢ × h¢ ¢ ³ 0: 
h¢ × h¢ ¢ £ 0: 
| ||
| 4. итерации | x1 = h(x0), xn+1 = h(xn) (n Î N) | |||
| 5. stop | пока n £  или |xn+1 – xn| > D
|
Характеристики метода:
- скорость сходимости: |xn – r| £ – геометрической прогрессии
- порядок сходимости: линейный (первый) |xn+1 – r| £ c·|xn – r |1
- самоисправляющийся (сходится при любом приближении x0 Î [a; b])
ТАБЛИЦА V: МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
для уравнения f(x) = 0 Û (x – A× f(x)) = x на [a; b]
| Этап | h дифференцируема, h¢ и h¢ ¢ знакопостоянны | |
| 1. проверка (x – A× f(x))([a; b]) Í [a; b]: | f¢ ³ 0 на [a; b]: 0 < A £ 
f¢ £ 0 на [a; b]:  £ A < 0
| |
| 2. проверка сжимаемости | 
| f¢ × f¢ ¢ ³ 0: c = 1 – A× f¢ (a) < 1 f¢ × f¢ ¢ £ 0: c = 1 – A× f¢ (b) < 1 |
| 3. выбор x0 | f¢ × f¢ ¢ ³ 0: x0 = 
f¢ × f¢ ¢ £ 0: x0 = 
| |
| 4. итерации | f¢ × f¢ ¢ ³ 0: xn+1 = xn – 
f¢ × f¢ ¢ £ 0: xn+1 = xn – 
| |
| 5. stop | пока n £  или |xn+1 – xn| > D, |f(xn)| > D
|
Характеристики метода:
- скорость сходимости: |xn – r| £ – геометрической прогрессии
- порядок сходимости: линейный (первый) |xn+1 – r| £ c·|xn – r |1
- самоисправляющийся (сходится при любом приближении x0 Î [a; b])
|
|