Глава IV. Некоторые методы аппроксимации функций

Слово аппроксимация означает приближение. Более конкретно, будут рассматриваться приближения функций многочленами. В качестве меры приближения рассматривается норма .

Сразу нужно отметить, что область изменения x здесь должна быть ограниченной и замкнутой: легко понять, что для функции f(x) = e^x не существует многочлена p(x) со свойством , ибо при x ® +¥ экспонента возрастает быстрее любого многочлена.

В то же время, и на отрезке [a; b] не всякую непрерывную функцию можно сколь угодно близко приблизить многочленом: например, это нельзя сделать для функции Пеано f: [0; 1] ® [0; 1]´ [0; 1], непрерывно отображающей отрезок [0; 1] на весь единичный квадрат [0; 1]´ [0; 1]. Тем не менее, будет доказано, что некоторые бесконечно дифференцируемы на (a; b) функции можно сколь угодно близко приблизить многочленами:

" f Î С^¥ ([a; b], R )" e > 0 $ p(x) Î R[x] .

Часто в вычислительных задачах функции задаются не формулами, а конечным числом значений, вычисленных в некоторых точках, т.е. таблицами вида

Задача о нахождении по такой таблице приближённого значения f(x) в точке x Î [x₁; x_n] называется задачей интерполяции (interia – внутри), а задача нахождения приближённого значения f(x) в точке x Ï [x₁; x_n] – задачей экстраполяции (exteria – вне).

Все эти задачи будут обсуждаться в настоящей главе.