Повышения точности решения

Рассмотрим решение системы по методу Гаусса в среде Excel. Конечно, малый размер решаемой системы не позволяет сделать погрешность вычислений слишком большой, но даже приведённый пример показывает, что вектор-невязка x = A·X – b становится ненулевым: величины его компонент превышают границу погрешности компьютера.

Вычисления оформлены естественным образом: над матрицей последовательно производятся элементарные преобразования строк с соответствующими главными элементами. Последние два столбца содержат контрольные суммы: столбец S первоначально содержит суммы элементов в столбцах x, y, z и в столбце свободных членов, затем с этими суммами производятся те же элементарные преобразования строк, что и со всей расширенной матрицей. В столбце S на каждом шаге вычисляются суммы элементов столбцов x, y, z и столбца свободных членов. Элементы столбца S не должны существенно отличаться от элементов столбца S: в рассмотренном примере они практически совпадают. Столбец решений системы выделен зелёным, а вектор невязки – жёлтым. Выбор главных элементов отмечен голубым цветом.

Для уменьшения погрешностей вычисления рекомендуется выбирать главными элементами элементы матрицы с наибольшими модулями. Например, для решённого выше примера вычисления модифицируются так:

Даже этот пример показывает, что компоненты вектора невязки уменьшились по абсолютной величине.

По величине компонент вектора невязки нельзя судить о допущенной в ходе вычислений погрешности решения системы. Найденное решение можно улучшить, если учесть невязку: вместо точного решения X₀ системы A·X = b было найдено приближённое решение X, удовлетворяющее равенству A·X = b + x. Поэтому можно записать X = X₀ + X₁ и получить A·X = = b + x Û A·(X₀ + X₁) = b + x Û A·X₁ = x – систему уравнений для вектора X₁, решив которую, найдём более точное приближение для решения X = X₀ + X₁. Вектор X₁ (или его норма) и определяет величину погрешности. Например, для предыдущего решения уточнение приведёт к следующим вычислениям:

которые уже позволяют судить о допущенной погрешности, имеющей порядок 10^–8. При необходимости подобные улучшения могут проводиться несколько раз. Для данного примера, как показывает следующая таблица, произведённые улучшения несущественны, поскольку точность вычисления в среде Excel и так достаточно высока.