Выводы по теме. 1. Нередко оказывается, что нахождение точного значения функции y(x) для любого допустимого значения х очень трудоёмко.

1. Нередко оказывается, что нахождение точного значения функции y(x) для любого допустимого значения х очень трудоёмко.

Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить лишь небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять.

В этом случае выгодно заменить функцию у (х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию φ (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) ≈ φ (х).

Т. е.:

Пусть функция y = P(х) задана таблично на [a, b]:

x₀ = a, x_n = b, x₀ < x₁ < x₂ < …. < x_n, y_i = P(x_i), i = 0, …, n.

Тогда построение непрерывной на [a, b] функции φ (x), такой что φ (x_i) = y_i называется интерполяцией функции P(x) на [a, b].

2. Приступая к интерполированию таблично заданной функции необходимо ответить на следующие вопросы:

a. Какие узлы мы будем использовать?

b. Какой класс приближающих функций мы будем использовать?

c. Какой критерий согласия мы применим?

d. Какую точность мы хотим?

3. Существуют 3 класса (или группы) функций, широко применяемых в численном анализе:

· линейные комбинации функций (1, х, х², …, хⁿ) (все многочлены степени n (или меньше));

· функции cos (α _ix), sin (α _ix) (ряды Фурье и интегралы Фурье);

· функции e^{-α z}.

4. Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является " точное совпадение в узловых точках".

Другой относительно хороший критерий – это " наименьшие квадраты". Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована.

Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума.

Очевидно, возможны и другие критерии.

5. В ходе лекции Вы познакомились с такими методами интерполяции, как:

· параболическое интерполирование (интерполяция многочленами);

· интерполяция Лагранжа;

· интерполяция Ньютона;

· сплайн-интерполяция;

· метод наименьших квадратов;

· интерполяция полиномами Чебышева.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое интерполяция?

2. Дайте характеристику каждому классу интерполирующих функций.

3. В чем суть параболического интерполирования?

4. В чем суть метода интерполяции Лагранжа?

5. Что такое сплайн-интерполяция?

6. Для чего применяются полиномы Чебышева?