Полиномы Чебышева. Критерии согласия данного метода – минимизация максимальной ошибки.

Критерии согласия данного метода – минимизация максимальной ошибки.

Полиномы Чебышева определяются следующим образом: T_n(x) = cos (n*arccos x).

Например:

T₀(x) = cos 0 = 1;

T₁(x) = cos θ = x;

T₂(x) = cos 2θ = cos² θ -sin² θ = 2x²-1.

Можно было бы и дальше использовать тригонометрические соотношения для нахождения полиномов Чебышева любого порядка, но будет лучше установить для них рекурентное соотношение, связывающее T_n+1(x), T_n (x) и T_n-1(x):

T_n+1(x) = cos (nθ +θ) = cos nθ *cos θ +sin nθ *sin θ;

T_n-1(x) = cos (nθ -θ) = cos nθ *cos θ -sin nθ *sin θ.

Складывая эти неравенства, получим:

T_n+1(x)+T_n-1(x) = 2cos nθ *cos θ = 2xT_n (x);

T_n+1(x) = 2xT_n (x)-T_n-1(x).

Применяя полученные формулы можно найти любой полином Чебышева. Например, Т₃(x) = 2xT₂(x)-T₁(x). Подставляя значения T₂(х) и Т₁(х), имеем Т₃(х) = 2х(2х²-1)-х = 4х³-3х. Графически первые 10 полиномов Чебышева изображены ниже. Последующие полиномы по-прежнему колеблются между +1 и -1, причём периоды колебания уменьшаются с ростом порядка полинома.

Преобразования θ = arccos (x) можно рассматривать как проекцию пересечения полукруга с множеством прямых, имеющих равные углы между собой (рис. 5.1.1).

Рисунок 5.1.1.

Таким образом, множество точек x_j, на котором система чебышевских многочленов T_n(x) ортогональна, таково:

x = cos (π *j/N), j = 0, 1, 2, …, N-1).

Так как T_n(x) есть, по существу, cos nθ, то они являются равноколеблющимеся функциями, и так как они многочлены, то обладают всеми свойствами ортогональных многочленов.

Чебышев показал, что из всех многочленов Р_n(x) степени n старшим коэффициентом 1, у многочлена T_n(x)/2^n-1 точная верхняя грань абсолютных значений на интервале -1 ≤ x ≤ 1 наименьшая. Так как верхняя грань T_n(x) = 1, указанная верхняя грань равна 1/2^n-1.