Итерация для линейных систем

Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы, подобно тому, как это делается для одного уравнения.

Для определенности ограничимся системой из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (система четвертого порядка), которую запишем в виде:

Разрешим первое уравнение системы относительно х₁:

х₁ = (-a₁₂/a₁₁)х₂-a₁₃/a₁₁х₃-a₁₄/a₁₁х₄-a₁₅/a₁₁.

Затем разрешим второе уравнение относительно х₂ и т. д. Тогда систему можно переписать в виде:

где α = -a_ik/a_ii, i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5.

Система является частным случаем записи вида:

При этом, линейная функция L₁ фактически не зависит от х₁.

Зададим какие-либо начальные значения неизвестных (нулевые приближения):

х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, х₃⁽⁰⁾, х₄⁽⁰⁾.

Подставляя эти значения в правые части системы (*), получим первые приближения:

Полученные первые приближения могут быть так же использованы для получения вторых, третьих и т. д. приближений. Т. е. можно записать: