Геометрический смысл итерационного процесса

Интересно рассмотреть геометрический смысл итерационного процесса.

Построим графики функций у = φ (х) и y = х (рис. 2.5.1). Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения кривой у = φ (х) с биссектрисой координатного угла. Если x₀ – абсцисса нулевого приближения, то x₁ = φ (x₀) равно ординате соответствующей точки М кривой или же абсциссе точки M₁. Аналогично находятся следующие приближения (рис. 2.5.1). Здесь можем также установить роль условия |φ ’(x)| < 1.

Рисунок 2.5.1.

Так, рис. 2.5.1 изображает случай, когда 0 < φ ’(x) < 1, так что кривая пересекает биссектрису слева направо и справа лежит под биссектрисой. Итерационный процесс в этом случае сходится, причем приближения монотонно убывают, если x₀ > х, или монотонно возрастают при x₀ < x.

На рис. 2.5.2 приведен случай, когда φ ’(х) > 1. Здесь кривая пересекает биссектрису снизу вверх, процесс оказывается расходящимся. На рис. 2.5.3 и рис. 2.5.4 изображены, соответственно, случаи, когда производная φ ’(х) отрицательна. Если при этом |φ ’(x)| < 1 (рис. 2.5.3), то итерационный процесс сходится, но приближения колеблются около истинного значения корня. При |φ ’(x)| > 1 (рис. 2.5.4) процесс расходится.

Рисунок 2.5.2.

Рисунок 2.5.3.

Рисунок 2.5.4.