Лабораторная работа № 3. Цель работы: Получение навыков использования аппроксимационных формул.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИЗ КВАДРАТОВ

Цель работы: Получение навыков использования аппроксимационных формул.

Задача приближения функции заданного вида к ряду из точек сводится к выбору таких параметров функции , при которых значение функции в точках не слишком сильно отличаются от заданных значений , т.е. разности должны быть малы. Для оценки указанных разностей используется метод наименьших квадратов, согласно которому, наилучшее приближение функции достигается при минимуме суммы квадратов разностей

Считая, что функция имеет параметров т.е. , получаем задачу о нахождении минимума функции нескольких переменных. Такая задача решается путем приравнивания нулю всех частных производных искомой функции по переменным

……………………………………

……………………………………

Если приближающая линия представляет собой прямую , то имеем систему двух линейных уравнений

Для аппроксимирующей линии параболического типа

Получаем систему трех линейных уравнений

В ряде случаев, когда аппроксимирующая кривая не является многочленом первой или второй степени, можно при помощи замены переменных свести ее к многочлену. Например, для показательной функции после логарифмирования имеем и после замены переменных , , , получаем линейное уравнение . После пересчета и находим параметры и и по ним определяем и по обратным преобразованиям , . В табл. 6 приведены замены переменных, которые сводят различные зависимости к линейным.

Таблица 6

№	Функция	Замена переменных

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с методами получения аппроксимирующих функций.

2. Ознакомиться с программой построения аппроксимирующих функций на демонстрационном примере.

3. По данным таб. 7 с помощью программ построить аппроксимационные функции и методом наименьших квадратов подобрать их параметры. Результаты занести в табл. 8.

4. Выбрать окончательный вид аппроксимационной функции и построить ее график с нанесением на него заданных точек.

Таблица 7

Таблица 8

№	Вид функции	а	b	c

ОТЧЕТ О РАБОТЕ

Отчет должен содержать:

1. Таблицу с исследованными аппроксимирующими функциями.

2. Обоснование выбора вида аппроксимирующей функции.

3. График аппроксимирующей функции с нанесенными на него заданными точками .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как ставится задача приближения функции?

2. Как оценить отклонение точек от заданной функции?

3. Как выполняется линеаризация аппроксимирующей функции?

4. Как выбрать аппроксимирующую функцию?

ЛИТЕРАТУРА [1, c. 340-351]; [2, c. 71-88].

Лабораторная работа № 4

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Цель работы: Получение навыков использования численных методов вычисления определенных интегралов.

Задача численного интегрирования сводится к нахождению значения определенного интеграла

.

Один из способов решения такой задачи – это замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом и получение квадратурных формул вида

,

где, - выбранные узлы интерполирования; - значение функции в узлах интерполирования; - коэффициенты, зависящие от выбора узлов интерполирования (от вида функций не зависит); - остаточный член.

При равноотстоящих узлах интерполирования квадратурные формулы называются формулами Ньютона-Котеса. Такие формулы различаются степенями используемых интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, обычно разбивают промежуток интерполирования на отдельные участки, а потом складывают полученные результаты, что дает, так называемые, составные формулы.

Разобьем интервал интегрирования на равных частей системой точек

,

, , , .

Используя интерполяцию многочленом нулевой, первой и второй степени, получим соответственно формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).

Ф о р м у л а п р я м о у г о л ь н и к о в. Если считать, что подынтегральная функция на каждом элементарном участке интегрирования постоянна и равна значению на одном из концов участка, то получим формулу правых или левых прямоугольников.

Формула правых прямоугольников: левых прямоугольников:

, .

Если в качестве значения функции принимать ее значение в середине интервала интегрирования, получим модифицированную формулу прямоугольников:

.

Остаточный член во всех этих формулах имеет первый порядок, т.е. пропорционален первой производной .

Геометрическая интерпретация методов прямоугольников заключается в том, что площадь под интегрируемой кривую заменяется суммой площадей прямоугольников (рис. 8).

f(x) f(x) f(x)

a b X a b X a b X

а) б) в)

Рис. 8

Ф о р м у л а т р а п е ц и й. При Интерполировании кривой линейной функцией получаем формулу трапеции

,

где, , - остаточный член.

Формула трапеций дает точное значение интервала, когда подынтегральная функция линейна, так как при этом .

Геометрически формула трапеций осуществляет замену площади под подынтегральной кривой суммой площадей трапеций, высоты которых совпадают со значениями функции в точках , (см. рис. 9).

Рис. 9

Ф о р м у л а С и м п с о н а (парабол). Получается при замене подынтегральной функции параболами, совпадающими с функцией в тройках соседних точек, (рис. 10).

,

где , - остаточный член.

Рис. 10

Формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени включительно, так как в таких случаях .

Как правило, более точная интерполяционная формула позволяет получить более точный результат при одинаковом числе точек интегрирования, поэтому на практике наиболее часто используется формула Симпсона. Если же и она не дает приемлемой точности, то используется более сложная формула Ньютона (правило трех восьмых), в которой число интервалов интегрирования должно быть кратно трем.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с методами вычисления определенных интегралов с помощью квадратурных формул Ньютона-Котеса.

2. С помощью моделирующей программы вычислить указанные в задании интегралы по трем различным формулам с одинаковым значением шага. Варианты заданий выбрать из табл. 9. Результаты вычислений занести в табл.10.

3. Вычислить точное значение заданного интеграла и погрешности различных методов интегрирования (как разность между точным и приближенном значении). Результаты занести в табл. 10.

4. Пользуясь моделирующей программой вычислить значение заданного интеграла одним из исследуемых методов при разных значениях шага интегрирования. Результаты занести в табл. 11.

5. По данным табл. 11 построить график зависимости значения интеграла от шага интегрирования и определить значение шага, при котором погрешность вычисления интеграла не превышает одного процента.

Таблица 9

№№ вар.	Задание	№№ вар.	Задание
	,		dx,
	,		dx,
	,		dx,
	,		dx,
	,		dx,
	,		dx,

Таблица 10

Таблица 11

h

ОТЧЕТ О РАБОТЕ

Отчет должен содержать:

1. Исследуемую подынтегральную функцию и краткое описание используемых методов интегрирования.

2. Таблицу с вычисленными значениями определенного интеграла и погрешностями.

3. Таблицу и график зависимости вычисленного значения интеграла от шага интегрирования.

4. Максимальное значение шага, при котором вычисленное значение интеграла отличается от истинного не более чем на один процент.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как меняется погрешность квадратурных формул с увеличением степени интерполяционной формулы и уменьшением шага?

2. Как получить квадратурную формулу для неравноотстоящих узлов интегрирования?

3. Какие методы дают точное значение при интегрировании линейной функции?

4. Что выгоднее – увеличивать степень полинома, или уменьшать шаг интегрирования?

5. Как меняется реальная точность вычислений при увеличении числа узлов интегрирования?

ЛИТЕРАТУРА [1, c. 165-189]; [3, c. 577-586]; [4, c. 140-157].