Метод Ньютона (метод касательных). Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [a, b], причем f′ (x) и f″(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке [a

Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [ a, b ], причем f′ (x) и f″ (x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что малый отрезок дуги кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой (отсюда и название метод касательных).

Пусть f(a) < 0, f(b) > 0, f′ (x) > 0, f″ (x) > 0 (рис. 1) или f(a) > 0, f(b) < 0, f′ (x) < 0, f″ (x) < 0 (рис. 2). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке В₀ (b, f(b). Уравнение касательной имеет вид

y – f(b) = f′ (b) (x – b)

y y

B₀

A

В₁ f(b)

f(a)

ξ b=x₀ x₃ x₂ x₁ x

0 a x₂ x₁ x a ξ b = x₀ B

f(a) B₂ f(b)

A В₁ B₀

Рис. 1 Рис.2

Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox.. Полагая у = 0, x = x₁, получим

Далее корень уравнения находится на отрезке [a, x₁]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке В₁(x, f(x₁)). Аналогично предыдущему, находим абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох

Продолжая этот процесс, получим

(*)

Получаем последовательность приближенных значений x₁, x₂, … x_n … корня уравнения f(x) = 0. Эта последовательность монотонно убывающая. Докажем, что она ограничена снизу.

Для функции f(x) запишем формулу Тейлора в окрестности точки x = x_n..

Если k = 1, то формула принимает вид

Полагая x = ξ и учитывая, что f(ξ) = 0 и f″ (x) > 0. имеем

Т.е. последовательность x₁, x₂, …, x_n, …монотонно убывающая и ограничена снизу. Следовательно она имеет предел. Переходя к пределу в равенстве (*), получим

Таким образом, при n → ∞ последовательность чисел {x_n} стремится к пределу, равному корню уравнения f(x) = 0.

Предположим, далее, что f″ (x) < 0 на интервале (a, b). Остальные предположения оставим без изменения.

y B

f(b)

x₁

N a b x

f(a)

A Рис. 3

Если снова провести касательную в точке В, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [a, b]. Поэтому при таком выборе начальной точки х₀ следующая точка х₁ выйдет за пределы отрезка [a, b], и метод Ньютона окажется непрактичным. Таким образом, при выборе начальной точки следует руководствоваться правилом.