Задача Коши для ОДУ

В зависимости от вида ДУ (1) задача Коши формируется следующим образом.

1. Если n = 1, то требуется найти Y = Y (x), удовлетворяющую уравнению:

(4)

и принимающую при x = x ₀ заданное значение Y ₀:

Y (x ₀) = Y ₀. (5)

Для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений x > x ₀. В качестве начального значения может быть произвольное x, но чаще всего принимают x ₀ = 0, что не влияет на разработку численного метода для (4). Заметим, что все численные методы разработаны для решения ОДУ именно первого порядка.

2. Задача Коши для ОДУ n -го порядка

; (6)

найти Y = Y (x), удовлетворяющую (6) и начальным условиям

, , …, ; (7)

где – есть заданные числа.

3. Задача Коши для системы ДУ:

(8)

Задача Коши для системы (8) заключается в отыскании Y_i (x) (), удовлетворяющих (8) и начальным условиям:

; ; …; . (9)

Численные методы для решения ОДУ (4) и (5) применяются и для решения (8) и (9).

Дифференциальное уравнение n -го порядка (6) может быть приведено к системе (8) путем введения новых неизвестных функций Y_i (x), :

, , …, . (10)

Тогда (6) запишется следующим образом

Если удается найти общее решение для (4), (6), или системы (8), то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Как правило, она решается приближенно.