Аппроксимация посредством многочлена Ньютона

Предположим, что функция f (x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h = x_i – x_{i –1} (i = 1, 2, …, n) может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона:

. (9)

Дифференцируя (9) по переменной x как функцию сложную:

можно получить формулы для получения производных любого порядка:

;

(10)

Следует заметить, что точность ЧД для выбранного x будет существенно зависеть от значений функции во многих узлах, что не предусмотрено в соотношениях (2) – (4).

Пример. Для функции заданной таблично

вычислить в точке x = 0, 1 первую f ' (x) и вторую f " (x) производные. Здесь h =0, 1; t = (0, 1 – 0)/0, 1 = 1. Предварительно вычислим конечные разности для (10).

Используя формулы (10), находим:

y'» 10× (0, 5274+((2× 1–1)/2)× 0, 0325+0, 0047× (3× 1–6× 1+2)/6+0, 0002× (4× 1–

–18× 1+22× 1–6)/24) = 5, 436;

y"» 100× (0, 0325+0, 0047× (6× 1–6)/6+0, 0002× (12–36+22)/24) = 3, 25.

Замечание. В расчетной практике численного дифференцирования интерполяционные многочлены Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя используются в несколько иной форме, так как формулы ЧД применяют для нахождения производных в равностоящих узлах x_i = x ₀ + ih (i = 0, ±1, ±2, …), то любую точку сетки можно принять за начальную и формулы ЧД записывают для точки x ₀. А это равносильно подстановке в них t = (x – x ₀)/ h = 0. Тогда дифференцирование многочленов приводит к следующим формулам.

По Ньютону:

; (а)

;

; (б)

.

Формулы (а) применяются для начальных строк таблиц, а (б) – для последних строк таблицы. Тогда по Стирлингу:

; (с)

.

Формулы (с) – для дифференцирования в середине таблицы.

Пример. Использование формул (а) и (с) для функции y = sh2 x с h = 0, 05. Найти y ' и y " в точках х = 0, 00 и х = 0, 1. Возьмем расчетную таблицу для y = f (x) в виде:

Решение. Воспользуемся формулами ЧД на основе интерполяционных многочленов. Составим таблицу конечных разностей. Она продолжилась до разностей 4-го порядка, т.к. дальше получится «0».

Для точки x = 0, 0 используем формулы (а), считая х ₀ = 0, 0:

y ' | _{x = 0, 0}» =

= 20 × (0, 10017 – 0, 00050 + 0, 0034 – 0, 00001) = 2, 0000;

y " | _{x = 0, 0}» =

= 400 × (0, 00100 – 0, 00101 + 0, 00003) = 0, 008.

Для точки x = 0, 1 используем формулы (c), считая х ₀ = 0, 1:

y ' | _{x = 0, 1}» =

= 20 × (0, 10217 – 0, 00017) = 2, 0400;

y " | _{x = 0, 1}» = 400 × (0, 00201 – 0, 00000) = 0, 804.

Для сравнения приведем точные значения первой и второй производных функции y = sh2 x:

y' = 2ch2 x: для x = 0, 0: y' = 2; а для x = 0, 1: y' = 2, 0401;

y" = 4sh2 x: для x = 0, 0: y" = 0; а для x = 0, 1: y" = 0, 8052.

Интерполяционный многочлен (9) и его интерпретации (Стирлинга, Гаусса) для вычисления производной в середине и в конце отрезка определения f (x) дают выражение для производной через конечные разности . Однако на практике выгоднее иногда выражать значения производных непосредственно через значения y_i.

Ответ на этот вопрос дает интерполяционный многочлен Лагранжа для равномерной сетки интерполяционных узлов.