Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Зейделя. Данный метод является модификацией метода простой итерации и для системы (25) имеет следующую технологию
Данный метод является модификацией метода простой итерации и для системы (25) имеет следующую технологию (32) Суть его состоит в том, что при вычислении очередного приближения в системе (32) и в формуле (27*), если имеет место соотношение (27), вместо используются уже вычисленные ранее , т.е. (27*) преобразуется к виду , i = 1, …, n. (33) Это позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Оценка точности аналогична методу простой итерации. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если x 0 j заменить на xj и убрать строки x 0 i = 1, x 0 i = xi. Пример. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью e = 0, 0001, приводя ее к виду, удобному для итераций. (34) Условия (27) для системы не удовлетворяются, поэтому приведем ее к виду соответствующему данному требованию. (35) Здесь , значит, процесс Зейделя сходится. По технологии счета (32)
Ответ: x 1 = 0.248; x 2 = 1.115; x 3 = –0.224. Замечание. Если для одной и той же системы методы простой итерации и Зейделя сходятся, то метод Зейделя предпочтительнее. Однако на практике имеет место ситуация, когда области сходимости этих методов могут быть различными, т.е. метод простой итерации сходится, а метод Зейделя расходится и наоборот. Для обоих методов, если близка к единице, скорость сходимости очень малая. Для ускорения сходимости тогда используется искусственный прием – так называемый метод релаксации. Суть его заключается в том, что полученное по методу итерации очередное значение пересчитывается по формуле: (36) w – как правило, принято изменять в пределах 0 < w £ 2 с каким-то шагом (можно h = 0, 1 или 0, 2). Параметр w подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций. Релаксация – (физ.тех.) постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние. Пример. Рассмотрим результат пятой итерации с применением формулы релаксации. Возьмем w = 1, 5. Как видно мы получили почти результат седьмой итерации.
|