Метод Эйлера с пересчетом.

Если в уравнении (17.6)

вместо взять среднее арифметическое от и

то вместо разностной схемы (17.6) мы получим:

(17.8)

Полученная схема получилась неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения. Так как точного значения мы не можем знать, то вместо него мы можем взять его приближение , вычисляемое по формуле (17.6)

. (17.9)

Подставив вместо в (17.8), получим новое выражение для вычисления

. (17.10)

Последние рекуррентные соотношения представляют метод Эйлера с пересчетом. Этот метод имеет второй порядок точности. На рисунке дана геометрическая интерпретация первого шага вычислений при решении задачи Коши методом Эйлера с пересчетом.

777777& & & & & uuUUU

Касательная к кривой в точке проводится с угловым коэффициентом

' .

С ее помощью методом Эйлера найдено значение, которое используется затем для определения наклона касательной в точке. Отрезок с таким наклоном заменяет первоначальный отрезок касательной от точки до точки.

В результате получается уточненное значение искомой функции в этой точке.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Метод Рунге-Кутта. Очевидно, что значение , полученное с помощью метода Эйлера менее точно, чем , полученное по схеме с пересчетом. Но схема с пересчетом может быть тоже улучшена. Сегодня наиболее оптимальным с точки зрения компромисса между объемом вычислений и достигаемой точностью считается метод Рунге-Кутта. Алгоритм этого метода записывается в виде

.

Видим, что метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения ' Для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.

Рассмотрим результаты решения примера различными методами.

Пример. Решить задачу Коши

Решение. Можно решить это уравнение аналитическими методами. Для сравнения

решение это приводим:

Проведем решение данной задачи численно с помощью рассмотренных выше методов. Результаты решений приведены в таблице. Из нее видно, что самым точным является решение, полученное методом Рунге-Кутта.

Видно, что при большом числе узлов метод Эйлера может привести к заметным погрешностям, в таких случаях предпочитают пользоваться численными методами высших порядков.

	Метод Эйлера	Метод Эйлера с пересчетом	Метод Рунге-Кутта	Точное решение
0, 1		1, 2210	1, 2221	1, 2221
0, 2	1, 4420	1, 4923	1, 4977	1, 4977
0, 3
0, 4	2, 1041	2, 2466	2, 2783	2, 2783
0, 5
0, 6	3, 1183	3, 4176	3, 5201	3, 5202
0, 7
0, 8	4, 6747	5, 2288	5, 4894	5, 4895
0, 9
1, 0	7, 0472	8, 0032	8, 5834	8, 5836

В учебной литературе можно встретить различные модификации метода Рунге-Кутта. Рассмотренный нами метод называется метод Рунге-Кутта 4^го порядка точности.

Погрешность этого метода на шаге h равна

(s-число коэффициентов в формуле).

У нас s=4, поэтому можно написать, что Погрешность вычисления в конце n ^го (интервала) шага

.

Наиболее употребительным одношаговым методом является метод Рунге-Кутта.