Применение метода Гаусса для вычисления определителей.

Пусть дана матрица

= , (16.24)

и ee определитель. (16.25)

Рассмотрим линейную систему . (16.26)

При решении системы (16.26) по методу Гаусса мы заменяли матрицу треугольной матрицей В, состоящей из элементов отмеченных строк

В результате получалась эквивалентная система

. (16.27)

Элементы матрицы В последовательно получались из элементов матрицы А и дальнейших вспомогательных матриц с помощью следующих элементарных преобразований:

1) деления на ² ведущие² элементы , которые предполагались отличными от нуля;

2) вычитания из строк матрицы А и промежуточных матриц А_i чисел, пропорциональных элементам соответствующих строк. При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий ² ведущий² элемент, при второй-определитель матрицы остается неизменным.

Поэтому

Следовательно, (16.28)

т.е. определитель равен произведению ² ведущих² элементов для соответствующей схемы Гаусса.

Очевидно, поэтому, что приведенная нами схема единственного деления может быть использована для вычисления определителей. При этом столбец свободных членов становится излишним.

Пример. Вычислить определитель

.

Используя элементы определителя D, составляем схему единственного деления

(таблица 16.3). Перемножая ² ведущие² элементы (заключенные в рамки),

получаем: D=7, 4∙ 4, 32434∙ 6, 11331∙ (-7, 58393)=-1483, 61867.

1ый столбец	2ой столбец	3ийстолбец	4ый столбец	S	Разделы схемы
7, 4 1, 6 4, 7 5, 9 -------------	2.2 4, 8 7, 0 2, 7 ------------- 0, 29729	-3, 1 -8, 5 -6, 0 4, 9 ------------- -0, 41891	0, 7 4.5 6, 6 -5, 3 ------------- 0, 09459	7, 2 2, 4 12, 3 8, 2 --------------- 0, 97297
	4, 32434 5, 60274 0, 94599 -------------	-7, 82974 -4, 03112 7, 37157 ------------- -1, 81062	4, 34866 6.15543 -5, 85808 ------------- 1, 00562	0, 84326 7, 72705 2, 45948 ------------- 0, 19500
		6, 11331 9, 08440 -------------	0, 52120 -6, 80939 ------------- 0, 08526	6.63451 2, 27501 ------------- 1, 08526
			-7, 58393	-7, 58393
				= - 1483, 61867