Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение.
Явные схемы часто называют «схемами с запаздыванием», а неявные – «схемами с опережением».
Симметричная схема Эта схема неявная. Расчетная формула соответствующего ей численного метода имеет вид нелинейного уравнения относительно , которое требуется решить на каждом шаге вычислений . Схема Эйлера – Коши Задаваемый этой схемой метод называется методом Хойна и определяется расчетной формулой , где – задано. Это явная формула, применение которой требует двух вычислений значений функции на шаге. Метод Хойна относится к классу методов «предиктор - корректор», от английского to predict – предсказывать и to correct – корректировать.
Схемы Рунге – Кутты Рассмотрим семейство разностных схем вида , где – задано. Явный метод Эйлера задается схемой Рунге – Кутты 1го порядка. В практических расчетах наиболее часто используются схемы 2го и 4го порядков. В стандартном программном обеспечении чаще всего используется схема 4го порядка. В частности, в системе MATLAB для решения задачи Коши предназначаются функции ode23 и ode 45, реализующие методы Рунге-Кутты 2го и 4го порядка соответственно. Для схемы 4го порядка: , (взвешенное среднее) где , , , . Таким образом, для вычисления по необходимы 4 вспомогательные точки. При реализации метода Рунге-Кутты 4го порядка необходимо на каждом шаге четырежды вычислить в точках с координатами , , , . После чего следует вычислить , , , , , . Рассмотренные вышесхемы могут быть в общем виде записаны следующим образом: 1). , задано, – явные одношаговые схемы (явная схема Эйлера и схемы Рунге-Кутты); 2). , задано, – неявные одношаговые схемы (неявная схема Эйлера, явная симметричная схема и схема Эйлера-Коши). Кроме того, в вычислительной практике часто используются схемы вида: 3). , заданы – явная двухшаговая схема 4). , заданы – неявная двухшаговая схема. Многошаговые схемы (схемы Адамса) Среди многошаговых методов наибольшее распространение в практике вычислений получили методы Адамса , где – некоторые числовые коэффициенты, . Для того чтобы можно было пользоваться схемой Адамса, должны быть известны (либо заданы в условии задачи, либо найдены из одношаговых методов). Схемы Адамса – Башфорта (явные многошаговые схемы) , заданы; , заданы; заданы; Схемы Адамса – Моултона (неявные многошаговые схемы) , заданы; , заданы; , заданы.
|