Пример 2. Решим следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ):

Решим следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ):

.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Найдем значение С из начального условия:

и вычислим значение .

Изменим начальное условие:

.

Для этой задачи

,

.

Количественной мерой обусловленности задачи является число обусловленности, которое можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей решения по отношению к вызвавшим их погрешностям начальных данных.

Если установлено неравенство между погрешностью начальных данных и решения вида

или

,

то – абсолютное число обусловленности; – относительное число обусловленности.

Число обусловленности определяется для каждого типа вычисляемых задач с помощью своих особых приемов вычисления. В примере 1, например, вопрос о числе обусловленности связан с определителем системы.

При каком значении числа обусловленности следует считать задачу плохо обусловленной? Ответ зависит от

· требований, предъявляемых к точности решения;

· уровня обеспечиваемой точности входных данных.

Пример:

Требуется найти решение с точностью 0, 1%, а входные данные заданы с точностью 0.02%. В этом случае уже при ν ≈ 10 задача плохо обусловлена.

Пример:

Входные данные имеют точность 0, 0001%, а решение требуется найти с точностью 0, 1%. В этом случае даже при ν ≈ 10³ задача хорошо обусловлена.

ПРАВИЛО 5

Следует избегать плохо обусловленных алгоритмов.

Пример: Известно, что функция может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда

.

Пусть для вычисления используется калькулятор (шестиразрядная десятичная ЭВМ). Возьмем , и будем вычислять значения частичных сумм до тех пор, пока добавление очередного слагаемого еще меняет значение суммы (то есть до тех пор, пока очередное слагаемое не станет меньше )

В сумму вошло 36 слагаемых и значение очередного (37-го) слагаемого оказалось уже не в состоянии изменить результат. При этом – истинное значение. Сравнение показывает, что найденное значение не содержит ни одной верной цифры.

Исправить этот алгоритм можно следующим образом:

.

ПРАВИЛО 6

Применяя определенный метод для решения вычислительной задачи, следует выбирать для его реализации тот из алгоритмов, который наиболее устойчив к погрешностям входных данных.

Контрольные вопросы

1. Особенности современных инженерных задач.

2. Основные этапы вычислительного эксперимента.

3. Понятия модели и моделирования.

4. Виды моделирования.

5. Что называется ошибкой (или погрешностью) приближенного числа.

6. Определение абсолютной погрешности.

7. Определение относительной погрешности.

8. Плохо обусловленная задача на примере системы линейных алгебраических уравнений.

9. Плохо обусловленная задача на примере задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

10. Что такое абсолютное и относительное числа обусловленности.

11. Приведите пример плохо обусловленного алгоритма.