Интерполяционная формула Лагранжа. Пусть на отрезке [a,b] заданы n+1 точек x0 x1 , x n

Пусть на отрезке [a, b] заданы n+1 точек x0 x1..., x n. И даны значения некоторой функции f(x) в этих точках. Требуется построить многочлен Ln (x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах xi те же значения, что и функция f(x), т.е. Ln (xi). Решим сначала частную задачу: построим многочлены Pi(x) степени n такие, что Pi(xj) = 0 при

i ≠ j и Pi (xi) = 1. $ Эти условия можно записать следующим

образом: Pi (xj) = δ ij, δ ij - символы Кронекера. Так как искомый полином Pi(x) обращается в нуль в n точках x0,..., xi-1, xi+1,..., x n, то он имеет вид

pi (x) = Ci(x-x0)... (x-xi-1)(x-xi+1)... (x-xn), (4.3)

где Ci - постоянный коэффициент. Полагая x = xi в формуле (4.3) и учитывая, что Pi(xi) = 1, находим

Ci = 1/((x-x0)... (x-xi-1)(x-xi+1)... (x-xn)). (4.4)

Подставив (4.4) в (4.3), будем иметь:

. (4.5)

Таких многочленов можно построить n+1. Теперь перейдём к решению общей задачи: к отысканию многочлена . Он будет иметь следующий вид:

. (4.6)

В самом деле, степень этого многочлена не выше n и в произвольном узле

,

т.е. равен значению функции в узлах интерполирования. Следует отметить, что формула Лагранжа содержит явно , это бывает иногда очень важно. Запишем формулу Лагранжа в компактном виде:

.