Остаточный член многочлена Лагранжа

Если точка не совпадает с узлом интерполирования , то погрешность интерполяционного многочлена (остаточный член)

не равна нулю.

Теорема 2.1. Если непрерывная и раз дифференцируемая функция на интервале , то существует некоторая точка , такая что остаточный член формулы Лагранжа равен:

. (2.12)

Доказательство. Рассмотрим функцию

, (2.13)

где – некоторая, пока неизвестная константа. Учитывая, что и для , функция имеет корень . Выберем константу так, чтобы и точка , не совпадающая ни с каким узлом , тоже была корнем функции . Тогда очевидно, что

, (2.14)

функция будет иметь корня . Пусть точка , тогда на концах каждого из интервала , , …, , , …, функция равна нулю. Сформулируем теорему Ролля. Если , то для непрерывной и дифференцируемой функции на интервале найдется не менее одной точки , в которой . Применяя эту теорему к каждому из перечисленных выше интервалов, на концах которых значения функции равны, можно утверждать, что внутри каждого интервала имеется хотя бы один корень. А это означает, что функция на интервале имеет не менее корня. Аналогично можно доказать, что на интервале имеет не менее корней и, наконец, имеет не менее одного корня. Обозначим корень уравнения переменной , тогда дифференцируя (2.13) раз и учитывая, что , получим формулу:

,

заменяя в которой на , получим уравнение для определения :

. (2.15)

Тогда из (2.15), выразив переменную и подставив ее в выражение (2.14), получается формула для остаточного члена (2.12). Теорема доказана.

Оценивая максимальное значение , получим формулу для погрешности метода при интерполировании в точке

, (2.16)

где

. (2.17)

Максимальная погрешность интерполирования на отрезке оценивается значением

.

Пример 2.3. Для функции по значениям в интерполяционных узлах , , построен многочлен Лагранжа 2-ой степени. Требуется оценить погрешность при вычислении многочлена в точке . Оценим величину , где интервал интерполирования зададим по крайним узлам: , . Вычислив производную, имеем . Так как на интервале убывает, то . Погрешности метода, вычисленная по формуле (2.16), равна

.

Построенная оценка погрешности (2.16) требует знание аналитического выражения функции, подлежащей интерполированию, однако, на практике обычно неизвестна, и воспользоваться рассмотренным методом оценки погрешности нельзя. Отметим, что оценка (2.16) имеет важное теоретическое значение и в дальнейшем будет часто использоваться. На практике применяют менее строгие оценки погрешности метода, некоторые из них приведены ниже в разделах 2.7 и 2.15.6.