Погрешность вычисления функции многих переменных

Пусть требуется вычислить значение функции многих переменных

. (1.2)

Будем предполагать, что нам известны приближенные значения аргументов , которые заданы с погрешностями . Необходимо определить абсолютную погрешность функции . Будем дополнительно предполагать, что:

1) погрешности малы, по сравнению с , ;

2) частные производные , существуют и являются непрерывными плавно изменяющимися функциями.

Оценим ошибку, разлагая функцию в ряд Тейлора нулевой степени

.

Тогда

,

где , - некоторое заранее неизвестное число, принадлежащее интервалу [0 1], . Заметим, что здесь представляет собой остаточный член многочлена Тейлора.

В силу сделанных предположений, будет приблизительно ограничен сверху величиной

,

которая и будет абсолютной погрешностью величины , т.е.

. (1.3)

Разделив левую и правую части равенства (1.3) на вычислим относительную погрешность для

. (1.4)

Величины

называются чувствительностями. Они определяют степень влияния погрешности -го аргумента на погрешность результата.

Пример 1.2. Рассмотрим задачу вычисления функции

.

Чувствительность для этой функции определяется по формуле

.

Если значение находится вблизи 1, то чувствительность будет высокой, а значит исходная задача – неустойчива, т.е. малые отклонения исходных данных приводят к большим отклонениям результата.