Численные методы. Методические указания к изучению курса

Методические указания к изучению курса

Иркутск 2011

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Программа курса и методические указания составлены для студентов очной формы обучения. Содержание построено на основе регионального компонента образовательного стандарта, который содержит следующие основные компоненты: элементы прикладного математического исследования; математическая формулировка задачи; выбор метода исследования; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений; одношаговые и многошаговые методы; основы метода конечных разностей; основы метода конечных сумм; интегрирующие матрицы в прикладных задачах; основы метода конечных элементов; конечные элементы сплошной среды; численное решение краевых задач с помощью МКЭ. Общий объем дисциплины 100 учебных часов.

Место дисциплины в структурно-логической схеме

Для усвоения дисциплины «Численные методы» необходимо предварительно изучить такие дисциплины, как: математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, информатика, физика.

Студенты, изучающие данную дисциплину третьекурсники, поэтому основы математических знаний они получили в среднем учебном заведении и на первых двух курсах.

В перечень дисциплин, в которых будут использованы знания и умения дисциплины, входят все дисциплины, в названии которых есть ключевые слова: конструкция, проектирование, технология и другие.

Цель учебной дисциплины.

Цель курса «Численные методы» состоит в овладении студентами знаниями и умениями в области современных методов прикладной математики, используемых в их дальнейшей практической работе по данной специальности.

Существующие программы и стиль преподавания курса математики в технических университетах сложились около 50 лет назад под влиянием классической математики восемнадцатого века и известных работ девятнадцатого века, посвященных обоснованию математического анализа. Особое внимание в них посвящено формальным преобразованиям и точным решениям.

Круг идей и методов, лежащих в основе приложений математики и проникших в этот, передовой для своего времени курс, довольно узок. Во многом такой курс математики является упрощенной копией классического университетского курса, рассчитанного на " чистых" математиков, и в результате – неоправданно усложненным, перегруженным, неработающим материалом, и в то же время – бедным по содержанию. Он почти не учитывает современных тенденций в прикладной математике, в частности, связанных с развитием численных методов, имеющих широкую и актуальную в прикладном плане область применения, со значительным расширением набора методов и алгоритмов, уже реализованных на ЭВМ

Для достижения поставленной цели необходимо в процессе преподавания добиваться проявления интереса у студентов к дисциплине и отрасли деятельности в целом, возбуждать желание глубоко осваивать существующие подходы математического моделирования, в частности в области аэрокосмического комплекса, на основе передовых технологий и систем инженерного анализа.

Основные задачи курса

В соответствии с целью, дисциплина имеет следующие задачи приобретения знаний и умений:

- Сообщить студентам теоретические сведения, наблюдаемые для изучения общеинженерных и специальных дисциплин, обучить их соответствующему математическому аппарату.

- Воспитать у студентов прикладную математическую культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения математики.

- Развить логическое и алгоритмическое мышление.

- Ознакомить студентов с ролью математики в современной жизни и особенно в современной технике, с характерными четами математических методов изучения реальных задач.

- Выработать первичные навыки математического исследования прикладных задач.

- Познакомиться с современными компьютерными технологиями инженерного анализа.

Требования к уровню усвоение и содержание дисциплины

В процессе изучения дисциплины «Численные методы» студент должен приобрести следующие знания и умения, необходимые для дальнейшего профессионального становления.

После освоения дисциплины студент должен:

иметь представление:

- о месте прикладной математики и численного моделирования в развитии мировой науки и техники

- о роли численного решения физических уравнений (инженерных задач) в развитии военной и гражданской техники и технологии, а также авиационно-космического комплекса;

- об основных движущих силах развития математического моделирования в инженерных приложениях.

знать:

Понятие математической модели.

Требование адекватности в математической модели.

Требование простоты и оптимальности в математической модели.

Феноменологические законы в математической модели.

Полуэмпирические законы в математической модели.

Определяющие параметры и число степеней свободы в математической модели.

Иерархия переменных в математической модели.

Контроль в математической модели (контроль размерностей, контроль порядков, контроль характера закономерностей).

Контроль в математической модели (контроль экстремальных ситуаций, контроль граничных условий, контроль математической замкнутости).

Выбор метода исследования, общая схема применения математического моделирования.

Внешнее и внутреннее правдоподобие в математической модели.

Прикидки в математической модели.

Выбор точности метода решения в математической модели.

Вариационные и экстремальные подходы.

Дискретное и непрерывное математической модели.

Устойчивость в математической модели.

Поучительность примеров в математической модели.

Вычислительная техника в математическом моделировании.

Ошибки округления в математической модели.

Волевые действия в математическом моделировании.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Источники погрешностей и тепы ошибок численного решения.

Постановка задачи и методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальная и краевая задачи. Численное решение задачи Коши.

Одношаговый метод Эйлера решения задачи Коши.

Модифицированный метод Эйлера.

Методы Рунге-Кутты решения ОДУ.

Методы Рунге-Кутты для решения системы ОДУ. Общая характеристика одношаговых методов.

Многошаговые методы решения задачи Коши.

Общий алгоритм методов прогноза и коррекции.

Метод Милна.

Метод Хемминга.

Метод Адамса-Бишфорта.

Общая характеристика многошаговых методов.

Основы метода конечных разностей. Формула конечной записи производной первого порядка.

Основы метода конечных разностей. Формула конечной записи для производной второго и более высоких порядков.

Общая схема решения краевой задачи методом конечных разностей.

Решение краевой задачи методом конечных разностей на примере задачи растянуто-изогнутого стержня на двух опорах.

Матричная форма записи конечно-разностных соотношений.

Интерполирование функций.

Формулы конечной записи интегралов в методе конечных сумм.

Модификация формул конечной записи интегралов, с учетом выражений для начального и конечного несимметричных участков.

Решение краевой задачи методом конечных сумм на примере растянуто-изогнутого стержня.

Формулы конечной записи производных в методе конечных сумм.

Основы метода конечных элементов (МКЭ). Построение функций формы.

Вариационно-энергетический подход МКЭ. Общий алгоритм решения задач МКЭ.

Решение краевой задачи методом конечных элементов на примере растянутого стержня.

Матричное представление совокупности конечных элементов на примере задачи стационарной теплопроводности.

Задача расчета собственных частот и форм колебаний методом конечных элементов.

уметь:

Изучение данного курса на аудиторных занятиях, в совокупности с самостоятельной работой студентов, предполагает четыре этапа (уровня) формирования умений студентов:

1. Уметь узнавать законы и принципы, заложенные в математических моделях прикладных задач.

2. Уметь решать типовые (известные) задачи построения математических моделей.

3. Уметь самостоятельно переносить знания и умения математического моделирования на другие прикладные задачи.

4. Уметь, на основе глубокого усвоения законов и принципов математического моделирования, формировать новые, ранее не известные инженерные решения, идеи, технического (технологического) совершенствования изучаемых объектов. Для выполнения этой работы студентам необходимо:

4.1 Уметь проводить математическое исследование прикладных вопросов перевода реальной задачи на адекватный математический язык. Уметь выбрать оптимальный метод ее исследования, интерпретации результата исследования и оценки его точности.

4.2 Уметь довести решение задачи до практически приемлемого результата – числа, графика, точного качественного вывода и т. д. Самостоятельно разбираться в математическом алгоритме.

4.3 Уметь пользоваться современными вычислительными комплексами инженерного анализа.

Каждый последующий уровень, для дальнейшей работы, предполагает избирательность из суммы знаний и умений предыдущего уровня. Принцип избирательности осуществляется в соответствии с целевой установкой дисциплины «Численные методы».

Содержание разделов дисциплины