МКЧ с использованием представления о наклонных секущих

Покажем особенности представления неявной расчетной схемы второго порядка точности. Поскольку вычисления ведутся по возрастающим номерам ячеек последовательно для эйлерова, лагранжева и заключительного этапов, при расчете i-ячейки перед эйлеровым этапом известными являются не только все параметры в центрах всех ячеек в n момент времени, но и промежуточные параметры , , где Х = (р, u) и Y = (p, v). Тогда можно выразить значения параметров на дробном шаге t^n+1/2 на границах i-1/2, j, i, j-1/2 и давление в центре i-ячейки с использованием представления о наклонных секущих (рис.2.5):

Рис.2.5. Представление о наклонных секущих

; (2.70)

; (2.71)

. (2.72)

Тогда формулы для промежуточных скоростей записываются в виде:

; (2.73)

. (2.74)

После соответствующих преобразований уравнение полной энергии эйлерова этапа (2.54) заменяется уравнением внутренней энергии. Для простоты запишем без диссипативных членов в правой части:

.

Поскольку е = с_vT = p/r(k-1), то при r = const эйлерова этапа получим

. (2.75)

Данная форма уравнения энергии используется и в методе частиц в ячейках Харлоу. В конечно-разностной форме это уравнение имеет вид:

. (2.76)

После подстановки (2.73) и (2.74) в уравнение (2.76) и соответствующих преобразований, получается аналитическое выражение для определения промежуточного давления без каких-либо итераций.

(2.77)

Найденное по этой формуле значение давления подставляется в (2.73) и (2.74) для вычисления промежуточных скоростей. Завершается эйлеров этап расчетом полной энергии:

. (2.78)

Расчетные соотношения (2.73), (2.74) и (2.77) соответствуют представлению о неявной схеме, поскольку в них используются параметры как n, так и n+1 временного слоя. Далее в обычной последовательности МКЧ выполняются лагранжев и заключительный этапы, осуществляется переход к расчету i+1, j или i, j+1 ячеек.

Применение предложенной схемы позволяет при сохранении устойчивости вычислений увеличивать сеточное число Куранта до значений 0, 4 - 0, 8 даже при моделировании течений с большими градиентами параметров, характерных для затопленных струй, т.е. увеличивать точность результатов и значительно сокращать время маршевого счета.

Наличие в составе расчетных соотношений (2.59) – (2.61) диссипативных членов, отражающих вязкость и теплопроводность, значительно повышает устойчивость расчетов, и, несмотря на громоздкость выражений, позволяет уменьшить время вычислений при решении стационарных задач на установление процесса за счет повышения сеточного числа Сu.