Случайные ошибки

Ошибки измерения делятся на две категории: случайные и систематические. К систематическим ошибкам относятся ошибки, искажающие результат в определенную сторону и имеющие закономерный характер. Сюда относятся инструментальные ошибки, происходящие от несовершенства инструмента, ошибки, вызванные методикой постановки эксперимента и некоторые другие. Так, например, измерение температуры термометром со смещенной нулевой точкой будет давать систематически неправильные результаты. Поскольку влияние таких ошибок на результаты наблюдения может быть более или менее точно заранее установлено, а значит и устранено, мы будем считать имеющиеся в нашем распоряжении результаты опыта свободными от систематических ошибок. Необходимо, впрочем, заметить, что фактическое исключение систематических ошибок часто является непростой задачей. Тем не менее, мы будем считать, что такое исключение уже сделано.

Оставшиеся ошибки составляют категорию случайных ошибок, рассмотрением которых мы и будем заниматься в дальнейшем. Предполагается, что случайные ошибки подчинены следующим условиям:

1) Равные по абсолютной величине ошибки равновероятны.

2) Малые по абсолютной величине ошибки более вероятны, нежели большие.

3) Вероятность появления ошибок, превосходящих по абсолютной величине некоторое определенное число, практически равна нулю. Это число обычно называют пределом возможных ошибок и обозначают через Е.

Пусть - функция распределения ошибок, т.е. вероятность того, что ошибка не превосходит величины ,

.

Можно считать, что ошибки представляют непрерывную, случайную величину. Тогда вероятность того, что ошибка примет значение, заключенное между и , с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем , выразится формулой ,

где - плотность распределения ошибок.

Формула Гаусса для распределения вероятностей случайных ошибок

Вообще говоря, случайные ошибки измерений могут иметь различные законы распределения. Однако практически в подавляющем большинстве случаев принимается, что случайная ошибка распределена по нормальному закону.

Это обстоятельство может быть строго доказано, если, кроме сделанных предположений о характере случайных ошибок измерений, принять еще один постулат.

Допустим, что одним и тем же инструментом с одинаковой тщательностью произведено несколько измерений одной и той же физической величины (например, длины стержня при определенной температуре). Результатом этих измерений является некоторый ряд чисел, располагая которым мы хотим определить наиболее вероятное значение измеряемой величины, т.е. то ее значение, при котором плотность распределения достигает своего максимума.

Упомянутый постулат называется постулатом Гаусса и состоит в том, что наиболее вероятным значением искомой величины является среднее арифметическое наблюденных значений.

Принцип наименьших квадратов

Пусть результатами измерений некоторой величины A являются числа

. (9.1)

Будем предполагать, что все измерения произведены с одинаковой тщательностью, т.е. являются равноточными, и что случайные ошибки распределены по закону Гаусса.

Рассмотрим гипотезы, состоящие в том, что измеряемая величина равна x, а мера точности произведенных измерений равна h.

При сделанных допущениях о значениях x и h, а также, в силу теоремы умножения вероятностей, вероятность получения ряда измерений (9.1), т.е. вероятность получения ошибок, которые одновременно попадают в интервалы для i=1, 2, …, n равна

или, пользуясь выражением для плотности нормального распределения,

(9.2)

Так как до испытаний все значения x и h следует считать равновероятными, то вследствие теоремы Бейеса вероятность самой гипотезы пропорциональна (9.2), т. е. равна

(9.3)

где G — постоянный множитель пропорциональности, куда включены также не зависящие от h и x множители и .

Отметим, что при любой гипотезе относительно h величина (9.3) будет наибольшей, если x выбран так, что сумма

будет наименьшей. Таким образом, исходя из того, что ошибки распределены по закону Гаусса, мы пришли к следующему выводу.

Наивероятнейшим значением, которое можно получить из ряда измерений одинаковой точности, является такое значение, для которого сумма квадратов разностей этого значения и результатов измерений является наименьшей.