Решение нелинейных уравнений. Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса – алгебраические и трансцендентные

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1) точные методы;

2) итерационные методы.

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны также методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение:

f(x)=0 (3.1)

где:

1) Функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

2) Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки ()/

3) Первая и вторая производные и сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a; b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:

,

называется корнем уравнения (3.1) или нулем функции f(x).

Задача нахождения корня уравнения f(x)=0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1) отделение корней – отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2) уточнение приближенных корней – доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (3.1) – это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ox, или отметить на оси Ox отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (3.1) равносильным ему уравнением:

f₁(x) = f₂(x) (3.2)

где функции f₁(x) и f₂(x) - более простые, чем f(x). Тогда, построив графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения x₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находиться последовательность приближенных значений корня . Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод половинного деления

Для нахождения корня уравнения (3.1), принадлежащего отрезку [a; b], делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если (что, практически, наиболее вероятно), то выбираем из половин или , на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a₁; b₁], снова делим пополам и производим те же действия.

Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится.

Метод хорд

Рис. 3.2. Метод хорд

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (3.1) принимают значения точек пересечения хорды AB с осью абсцисс (рис. 3.2). Сначала запишем уравнение хорды AB: Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс получим уравнение:

Пусть для определенности при (случай сводиться к нашему, если записать уравнение в виде -f(x)=0). Тогда кривая y = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, будет расположена ниже своей хорды AB. Возможны два случая: 1) f(a)> 0 (рис. 3.2, а) и 2) f(b)< 0 (рис. 3.2, б).

В первом случае конец a неподвижен и последовательные приближения: ;

(3.3)

образуют ограниченно монотонно убывающую последовательность, причем

.

Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: ;

(3.4)

образуют ограниченно монотонно возрастающую последовательность, причем

.

Обобщая эти результаты, заключаем:

1. неподвижен тот конец, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной ;

2. последовательные приближения лежат по ту сторону корня , где функция f(x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной .

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что ,

где - заданная предельная абсолютная погрешность.

Метод Ньютона

Рис. 3.3. Метод Ньютона

Отличие этого итерационного метода от предыдущего состоит в том, что вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y=f(x) при x = xi и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 3.3). При этом не обязательно задавать отрезок [a; b], содержащий корень уравнения (3.1), достаточно найти лишь некоторое начальное приближение x = x0.

Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки x₀ выбирается тот конец интервала [a; b], которому отвечает ордината того же знака, что и знак

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = f(x) через точку B₀ с координатами x₀ и f(x₀), имеет вид:

.

Отсюда найдем следующее приближение корня x₁ как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox (y=0):

.

Рис. 3.4. Решение уравнения f(x)=0 методом Ньютона

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с ось абсцисс касательных, проведенных в точках B₁, B₂ и так далее. Формула для i+1 приближения имеет вид:

(3.5)

Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие , или условие близости двух последовательных приближений .

Итерационный процесс сходится, если: .

Реализация метода Ньютона средствами MathCAD приведена на рис. 3.4.

Метод простой итерации

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(x)=0 заменяется равносильным уравнением

(3.6)

Пусть известно начальное приближение корня x = x₀. Подставляя это значение в правую часть уравнения (3.6), получим новое приближение: .

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (3.6), получаем последовательность значений:

, (i=0, 1, …) (3.7)

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости XOY графики функций y = x и . Каждый действительный корень уравнения (3.6) является абсциссой точки пересечения M кривой с прямой y = x (рис. 3.5, а).

Отправляясь от некоторой точки , строим ломанную («лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси Ox и оси Oy, вершины

Рис. 3.5. Сходящиеся итерационные процессы

лежат на кривой , а вершины , - на прямой y = x. Общие абсциссы точек A₁ и B₁, A₂ и B₂, …, очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения x₁, x₂, … корня .

Возможен также другой вид ломанной - «спираль» (рис. 3.5, б). Решение в виде «лестницы» получается, если производная положительна, а решение в виде «спирали», если отрицательна.

Рис. 3.6. Расходящийся итерационный процесс

На рис. 3.5, а), б) кривая в окрестности корня - пологая, то есть , и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где , то процесс итерации может быть расходящимся (рис. 3.6). Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке [a; b], причем все ее значения .

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что при , то:

1) процесс итерации , i=0, 1, … сходится независимо от начального значения

2) предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке .