Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа

Вычисление производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа применяется, когда аналитическое выражение функции y=f(x) не известно, а функция y=f(x) задана таблично.

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке и в точках { x_i } (i=0, 1, 2, …, n) этого отрезка принимает значения y_i=f(x_i).

Разность между соседними значениями аргумента x_i постоянна и является шагом h=x_i – x_i-1 (i=1, …, n) разбиения отрезка на n частей, прием a=x₀ и b=x_n.

Найдем аппроксимации производной первого порядка с помощью значений функций y_i в узловых точках x_i.

Для того чтобы выразить значения производной через значения функции y_i в узлах интерполяции x_i, построим интерполяционный многочлен Лагранжа L_m(x) степени m, удовлетворяющий условиям

L_m(x)= f(x_k)= y_k (k=i, i+1, …, i+m), i+m£ n

Многочлен Лагранжа L_m(x) интерполирует функцию f(x) на отрезке [ x_i, x_i+m ]. Дифференцируя многочлен L_m(x), получаем значения производной в точках { x_i } (k=i, i+1, …, i+m).

Если m=2, то график интерполяционного многочлена Лагранжа L₂(x) – парабола, проходящая через три точки (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1) и (x_i+2, y_i+2).

Вычислим первую производную многочлена L₂(x) на отрезке [ x_i, x_i+2 ]:

Производная многочлена L₂(x) в точках x_i, x_i+1, x_i+2 является приближением производной функции f(x) в этих точках:

(1)

Погрешности при вычислении производных в точках x_i, x_i+1, x_i+2 определяются следующим образом:

(2)

Формулы (2) показывают, что погрешности аппроксимации первой производной с помощью формул (1) имеют один и тот же порядок O(h²), таким образом, можно вычислять производную на отрезке [a, b] в точках { x_i } (i=0, 1, 2, …, n) при n³ 2 по формулам:

(3)

Полагаем, что значения производных и в точках х, близких к точкам x_i, равны соответствующим значениям и .

Будем считать точку близкой к x_i, если она принадлежит промежутку . Точки х, близкие к точкам x_i, имеют одно и то же значение параметра

В зависимости от i при n³ 3 используем одну из формул (5).

Программа вычисления производной первого порядка на основе интерполяционного многочлена Лагранжа:

program deriveFunction1order;

const p=15;

type

vector = array [0..p] of real;

var i, n: integer;

a, b, h, x, y1: real;

y: vector;

BEGIN

repeat

writeln('Введите n - число разбиений отрезка [a, b]');

readln(n);

until (n> =3) and (n< =15);

writeln('Введите координаты концов отрезка [a, b]');

readln(a, b);

writeln('Введите значения функции y[i] в узлах, ');

writeln('причем y0=f(a), yn=f(b)');

for i: =0 to n do readln(y[i]);

writeln('Введите x');

readln(x);

h: =(b-a)/n;

i: =trunc((x-a)/h+h/2);

if i=0 then y1: =(-3*y[0]+4*y[1]-y[2])/(2*h);

if (i> 0) and (i< n) then y1: =(-y[i-1]+y[i+1])/(2*h);

if i=n then y1: =(y[n-2]-4*y[n-1]+3*y[n])/(2*h);

writeln('x=', x: 6: 3, 'производная 1 порядка=', y1: 10: 6);

readln

END.