Метод квадратичной интерполяции.

Узлы интерполяции обозначены на рис.5.4 . Расстояние между узлами h.

Исходные функции называются интерполируемыми.

Полиномы, полученные после интерполяции, называются интерполяционными полиномами. Чаще всего узлы интерполяции задаются на равномерной сетке.

Функция и полином при любых методах интерполяции обязательно в точности совпадают в узлах интерполяции. Если значения функции определяются внутри узлов интерполяции, то это процедура называется интерполяцией, если функция определяется вне узлов рассматриваемого участка интерполяции, то такая процедура называется экстраполяцией.

Если для интерполяции используются:

1) две точки, то это линейная интерполяция

2) три – квадратичная и т. д.

Пусть исходная функция обозначена , а полином обозначим .

Проведем интерполяцию ее полиномами Лагранжа.

Линейная интерполяция:

1)

Если x=x₀, то F(x₀)=f(x₀)=f_{0 .}

Если x=x₁, то F(x₁)=f(x₁)=f_{1 .}

Квадратичная интерполяция:

2) .

Легко проверить, что F(x) проходит точно через узловые точки, задавая последовательно вместо значения .

Преобразуем знаменатели:

Определим производную от и приравняем ее 0. Полученное уравнение позволит получить значение x в точке экстремума.

полагаем при x=х₀+h_m, получим:

.

Собираем слагаемые с h_m:

.

Подставим h в «узлы» и определим h_m:

.

Новое значение позволяет получить новые узлы сетки в соответствии с рис. 5.4. Далее следует продолжить итерации. Окончание итераций можно определить по заданной точности:

или .

function[p, ym, dp, dy, P]=kwadrmin(fungold, a, b, del, eps)

%Вход:

%fungold функция вводится как строка 'fingold'

%[a, b]-начальный интервал поиска минимума

%del-допустимое отклонение для абсцисс

%eps-допустимое отклонение для ординат

%Выход:

%p, ym-абсцисса и ордината минимума

%dp, dy-грани ошибок по абсциссе и ординате

%P-вектор итераций

%Обращение из МАTLAB [p, ym, dp, dy, P]=kwadrmin('fungold', 0.5, 1.5, 0.001, 0.0001)

p0=a; maxk=30;

big=1e6;

maxj=20;

err=1;

k=1;

P(k)=p0;

cond=0;

h=1;

if(abs(p0)> 1e4), h=abs(p0)/1e4; end

while(k< maxk& err> eps& cond~=5)

f1=(feval('fungold', p0+0.00001)-feval('fungold', p0-0.00001))/0.00002;

if(f1> 0), h=-abs(h); end

p1=p0+h;

p2=p0+2*h;

pmin=p0;

y0=feval('fungold', p0);

y1=feval('fungold', p1);

y2=feval('fungold', p2);

yymin=y0; cond=0; j=0;

%

while(j< maxj& abs(h)> del& cond==0)

if(y0< =y1), p2=p1; y2=y1; h=h/2;

p1=p0+h; y1=feval('fungold', p1);

else if(y2< y1), y1=y2;

p1=p2;

h=2*h;

p2=p0+2*h;

y2=feval('fungold', p2);

else cond=-1; end

end

j=j+1;

if(abs(h)> big|abs(p0)> big), cond=5; end

end

if(cond==5),

pmin=p1; ymin=feval('fungold', p1);

else

%

d=4*y1-2*y0-2*y2;

if(d< 0), hmin=h*(4*y1-3*y0-y2)/d;

else hmin=h/3; cond=4; end

pmin=p0+hmin;

ymin=feval('fungold', pmin);

h=abs(h); h0=abs(hmin); h1=abs(hmin-h); h2=abs(hmin-2*h);

%

if(h0< h), h=h0; end

if(h1< h), h=h1; end

if(h2< h), h=h2; end

if(h==0), h=hmin; end

if(h< del), cond=1; end

if(abs(h)> big|abs(pmin)> big), cond=5; end

%

e0=abs(y0-ymin);

e1=abs(y1-ymin);

e2=abs(y2-ymin);

if(e0~=0& e0< err), err=e0; end

if(e1~=0& e1< err), err=e1; end

if(e2~=0& e2< err), err=e2; end

if(e0~=0& e1==0& e2==0), err=0; end

if(err< eps), cond=2; end

p0=pmin;

k=k+1;

P(k)=p0;

end

if(cond==2& h< del), cond=3; end

end

p=p0;

dp=h;

ym=feval('fungold', p);

dy=err;