Метод Рунге-Кутта 4гопорядка

Запишем алгоритм метода для системы ОДУ n порядка: ;

;

;

;

;

i – текущее значение шага интегрирования, i+1 последующее значение шага интегрирования. Алгоритм расчета времени . Начальное условие при

t =0 задано . Алгоритм одинаков для каждого из n уравнения системы.

Мы рассмотрели часть явных методов решения дифференциальных уравнений. Все они принадлежат к семейству методов Рунге-Кутта. Это методы, которые позволяют получить новое значение интегральной кривой по точкам в предшествующий момент времени и не требуют вычисления производных. Используя данные внутри одного результирующего шага по времени, они получили название одноступенчатых.

Существует группа неявных методов, которые позволяют получить новое значение функции по новому и старому значениям на одном шаге по времени. Часто эти методы являются итерационными. Они обладают значительно большей устойчивостью. Ясно, что они менее эффективны с точки зрения затрат времени. Но возможность увеличения шага интегрирования, при сохранении устойчивости, позволяет компенсировать часть этих затрат.

Существует группа методов прогноза и коррекции. Они используют информацию, полученную на предыдущих шагах интегрирования. Для расчета первых шагов они используют методы Рунге-Кутта. Они также имеют ограничение по выбору величины шага интегрирования для обеспечения устойчивости счета. Наиболее распространены методы Адамса, Милна и Хемминга.

Последние годы появились многозначные методы интегрирования дифференциальных уравнений. Мы их не рассматриваем.

4.7. Оценки точности методов Рунге-Кутта в процессе вычислений

Обычно текущие оценки точности вычислений требуют повторного проведения расчетов с меньшим шагом интегрирования. Поэтому время счета существенно увеличивается. Но уменьшение шага интегрирования следует контролировать: он не должен выходить за пределы разрядной сетки или приводить к потере точности расчетов.

Часто при выборе шагу интегрирования используют формулу Рунге (первая формула):

, где

х_{Δ t} – переменная, рассчитанная с шагом Δ t

х_{kΔ t} – переменная, рассчитанная с шагом kΔ t, k может быть > 1 или < 1.

p- порядок погрешности. Если заданное значение абсолютной точности ε < , то шаг уменьшается в k раз. Обычно k = 2,

Оценка погрешности по Эйткену:

. (4.4)

р – порядок погрешности можно оценить так:

. (4.5)

Используя формулы (4.4) и (4.5) можно в процессе счета менять шаг интегрирования. Естественно, это связано с удлинением времени счета.

Существует грубая оценка, предложенная Коллатцом:

Если неравенство не выполняется, то шаг интегрирования можно уменьшить. Эта оценка не требует дополнительных расчетов, так как является побочным результатом вычислений метода Рунге-Кутта 4-го порядка.

4.8. Приведение систем дифференциальных уравнений к форме Коши.

Рассмотрим некоторые наиболее распространенные формы записи систем дифференциальных уравнений, которые требуют приведения к форме Коши.

1. Математическая модель системы управления описана дифференциальными уравнениями типовых звеньев или передаточными функциям (ПФ). Требуется умение переходить от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и наоборот.

А) Для звена 1-го порядка переход к форме Коши:

.

Б) Если звено или система заданы дифференциальным уравнением выше 1-го порядка следует поступать так:

Рис.4.7

Запишем передаточную функцию системы, допустив, что у нее порядок числителя на единицу меньше порядка знаменателя:

. (4.11)

Заметим, что коэффициент отсутствует. Представим ПФ (4.11) в виде:

.

Запишем для каждой ПФ дифференциальные уравнения в операторном виде:

(4.12)

(4.13)

Вводим новые обозначения переменных состояния и переходим к оригиналам:

(4.14)

…

Переменную z и все ее производные, до n-1 включительно, обозначаем новыми переменными , которые являются переменными пространства состояний. Дифференцируем последовательно соотношение и переходим, используя соотношения (4.14), к форме Коши: …

.

Последнее уравнение получено из (4.12) с учетом (4.14).

На основе уравнения (4.13) с учетом соотношений (4.14) получим:

(4.15)

В) Интегрирующие звенья записаны в форме Коши.

Г) Для звена 2-го порядка алгоритм перехода к форме Коши получен (4.11)-(4.15).

Д) Следует особо учесть наличие в системе дифференцирующего звена. Пусть в замкнутой системе на вход дифференцирующего звена W₁(p) поступает ошибка системы.

Рис. 4.8

При подаче на вход системы единичного скачка он поступит на вход дифференцирующего звена. Производная от равна . Где функция Дирака, которую невозможно смоделировать на ЭВМ. Поэтому, проще всего, переставить местами звенья в прямой цепи системы.

2. Математическая модель системы управления описана дифференциальными уравнениями в векторно-матричной форме:

,

, где , u – скаляр для одноконтурной системы.

Матрица системы А имеет размер (n x n), матрица управления В (n x 1) для одноконтурной системы и матрица выхода с^Т (1 x n), если управление не поступает на выход системы. Рассмотрим два варианта перехода к векторно-матричной форме.

1. Имеем систему дифференциальных уравнений в форме Коши. Матрица А формируется по правилу: строки заполняются по уравнениям коэффициентами правых частей, а столбцы соответствуют переменным состояний по порядку индексов. Матрица В заполняется коэффициентами при входной переменной по порядку следования уравнений. Матрица с^Т должна передать па выход системы выходную переменную системы.

2. Система представлена ПФ. Этот вариант рассмотрен подробно см. (4.11)-(4.15). Получим для нее: , , (4.16)

где матрицы А, В и с^Т:

:

, , .

Существует несколько канонических форм перехода от ПФ к уравнениям в векторно-матричной форме (4.16). Данная форма использует, при введении переменных пространства состояний, более понятный физический смысл, так как переменные пространства состояний являются производными от выходного параметра исходной замкнутой системы.

Для одной ПФ можно получить сколько угодно различных уравнений в пространстве состояний.