Метод Бэрстоу.

Метод удобен для уравнений четной степени и дает возможность определять любые корни (действительные или комплексные). Введем в рассмотрение уравнение

x² - p x – q = 0. (1.23)

Метод Бэрстоу позволяет определить итерациями значения p и q. Решив квадратное уравнение (1.23), можно понизить порядок исходного уравнения и повторить алгоритм определения p и q. Приведем алгоритм определения p и q без доказательства:

, (1.24)

где коэффициенты b и c определяются так:

(1.25)

Сначала в цикле определяются коэффициенты b и c, а затем производится расчет коэффициентов p и q. Итерации повторяются до тех пор пока второе слагаемое (1.24) не будет меньше по модулю заданного значения ε.

Для комплексных корней сходимость метода Бэрстоу лучше, чем метода Ньютона. Имеется программа на Турбо Паскале, реализующая метод Бэрстоу для алгебраического уравнения произвольного порядка. Желающие могут ее получить.

Перечислим существующие наиболее известные методы:

- метод Мюллера - рекомендуется для тех же случаев, что и метод Бэрстоу;

- метод Лобачевского – позволяет определить сначала действительные и чисто мнимые корни;

- метод Бернулли – дает приближение сразу по всем корням;

- матричные методы.

Такой арсенал методов говорит о серьезности проблемы и о попытках известных ученых разработать универсальный метод.

Задание для самостоятельной работы:

Реализовать на МATLAB решение алгебраических уравнений методом Бэрстоу

а) ,

б) ,

в) , т.е. определить все корни.

МATLAB располагает программами, позволяющими решить алгебраическое уравнение с помощью оператора roots(a), где а вектор коэффициентов характеристического уравнения.

Например, a=[1 3 3 1]; roots(a).

Для работы с передаточными функциями (ПФ) полезно знание следующих простых стандартных операторов.

b=[0 0 0 1]; a=[1 3 3 1];

% векторы коэффициентов числителя и знаменателя ПФ

w = tf(b, a);

% ПФ в стандартной форме

p=pole(w); z=zero(w);

% вычисление нулей и полюсов

pzmap(w);

% построение нулей и полюсов на комплексной плоскости.

Некоторые из перечисленных методов позволяют решать и нелинейные уравнения общего вида f(x) = 0.

Аналитических методов решения даже отдельного нелинейного уравнения общего вида не существует. Галуа Эварист доказал, что уравнения 5-й степени и нелинейные уравнения не имеют аналитического решения. Поэтому уравнения высоких степеней и нелинейные можно решить лишь численными методами. Отсюда и некоторая условность их решения, а часто возникает тупиковая ситуация, т.е. решение отсутствует. Причиной может быть плохой алгоритм или использование машинной арифметики. Приведем простейшие примеры.

Уравнение не имеет решения, а уравнение имеет сколько угодно решений.

В случае системы нелинейных уравнений проблема поиска решений обостряется многократно.

В задачах динамики при рассмотрении реальных нелинейных математических моделей объектов управления (ОУ) такие задачи встречаются часто.

, (1.26)

где x и f - векторы с n компонентами.

Чтобы выполнить интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений (1.26), необходимо задать начальные условия, т.е. при t = 0 задать такие x = x₀ , которые обеспечат по окончании переходного процесса установившийся режим работы. В этомслучае и можно утверждать, что решена система уравнений

f(x) = 0. Но этот способ редко используется для решения сложных задач: он мало эффективен.

Отметим принципиальное сходство задачи решения системы нелинейных уравнений и задачи оптимизации, т.е. поиска экстремума функций. Действительно формально задачи решения систем f(x) = 0 и мало чем отличаются.

Однако, методы их решения развиваются независимо друг от друга. Отсутствие универсальных алгоритмов решения этих задач подчеркивает трудность их решения даже при небольших n. В отдельных прикладных приложениях приходится заниматься теоретической и экспериментальной «доводкой» методов решения таких задач.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных уравнений. Речь будет идти о вещественных корнях отдельного нелинейного уравнения.