Пакет MATHCAD

Решение систем линейных уравнений – довольно распространенная задача. Для системы линейных уравнений, заданной в матричном виде AX=B, вектор решения можно получить из очевидного выражения X=A-1B, или, например, из решения системы уравнений с проверкой на невырожденность матрицы: X: =if(|A|, A^-1B, 0).

Следует обратить внимание на то, что пакет содержит и встроенную функцию решения линейных систем lsolve(A, B), где А – матрица коэффициентов, а В – вектор свободных членов. Пример использования предложенных методов показан на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Примеры решения системы

Для решения систем уравнений, систем неравенств, смешанных систем служат решающие блоки. Структура решающего блока:

начало | Given

тело | несколько конструкций вида АВ1 оп АВ2

(оп – некоторая операция отношения, причём для написания знака равенства используется особый «жирный» знак равенства, который находится на панели инструментов; знак присваивания в теле решающего блока не используется)

конец | FIND (список) или MINERR (список).

Список – это перечень переменных, которые необходимо найти.

С помощью FIND ищут точное решение; если оно отсутствует, то возникает ошибка. Посредством MINERR всегда будет найдено решение, минимизирующее невязку ограничений. Переменная ERR – величина ошибки.

Перед решающим блоком необходимо задать начальные условия для всех искомых переменных, можно в векторном виде. Соответственно, в теле решающего блока можно использовать запись уравнений в матричном виде. Максимальное количество уравнений в системе доведено до двухсот. Часто приходится решать системы уравнений при наличии определенных ограничений. Таким образом, в теле решающего блока могут быть одновременно как равенства, так и неравенства. Пример такой системы приведен ниже:

x: =1 y: =1

Given

x + y = 5

x + y = 2

x£ 1

y> 2

find (x, y) =

Для последующего использования результатов необходимо так организовать конец:

В теле решающего блока нельзя строить графики, выполнять вычисления.

Итерации производятся до тех пор, пока ô ERRô £ TOL. Если встречается седловая точка и не известно, куда направлен градиент, то выдается сообщение not converging (не решаемо). Количество итераций ограничено. Возможно сообщение об ошибке вида did not find solution (не найдено решение).

При возникновении таких ошибок можно:

– изменить точность – TOL;

– заменить начальные условия;

– заменить find на minerr и получить приближенное решение.

Однако при использовании функций find и minerr нужно проявлять осторожность и обязательно предусматривать проверку решений, т.к. нередки случаи, когда решение может оказаться ошибочным.

Для получения другого решения можно поменять начальные условия, для уточнения – уменьшить TOL.

Пакет MATLAB

Рассмотрим две системы линейных уравнений: АХ=В и ХА=В. В MATLAB такие системы решаются без вычисления обратной матрицы. Два типа матричного деления / и \ используются для этих двух ситуаций, когда неизвестная матрица стоит слева или справа от матрицы коэффициентов:

Х=А\В соответствует решению АХ=В;

Х=В/А соответствует решению ХА = В.

При этом должны выполняться условия соответствия размерностей матриц X, А, В. Напомним, что для варианта Х=А\В матрица X должна иметь то же количество столбцов, что и матрица В, и то же число строк, сколько столбцов у матрицы А. Для Х=В/А эти условия обратны.

Алгебраические свойства оператора / можно вывести из соотношения (В/А)' = (А'\В’).

Матрица не обязательно должна быть квадратной, она может быть размером mхn. При этом существуют следующие варианты:

· m = n – квадратная система, возможно нахождение точного решения;

· m > n – переопределенная система, решение ищется с помощью метода наименьших квадратов;

· m < n – недоопределенная система, ищется базовое решение.
Пример решения и проверки результатов для квадратной системы:

< < А = раscal(З), В = magic(3)

А =

1 1 1

1 2 3

1 3 6

В =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

< < Х=А\В

X =

19 -3 -1

-17 4 13

6 0 -6

< < % проверка эквивалентности

< < А*Х==В

ans =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Важно помнить, что система имеет единственное решение, если detА не равен нулю, иначе решение либо не существует, либо не единственно. Отметим также, что для нахождения обратной матрицы используется функция inv(А).

Для решения системы АХ=В можно записать Х = inv(А)*B, а для решения системы Х=В/А – Х=В*inv(А), однако операторы \, / работают быстрее.

Для прямоугольных матриц детерминант и обратная матрица не определены, но можно найти псевдообратную матрицу, то есть матрицу, для которой выполняется хотя бы одно из соотношений: АХ=I или ХА = I. Для этого имеется функция рinv(А).

Если А – матрица размером mхn и m> n и ранг матрицы равен n, то каждое из трех следующих выражений вычисляет X по методу наименьших квадратов:

Х=А\В

Х=рinv(А)*В

Х=inv(А'*А)*А'*В

В противном случае решение X по методу наименьших квадратов не единственно и существует множество векторов, минимизирующих norm(A*X-B). Решение, вычисленное с помощью Х=А\В, – базовое решение, имеющее не больше r ненулевых компонент: r=rank(A). Решение, вычисленное с помощью Х=рinv(А)*В, – это решение с минимальной нормой X.