Нахождение параметров квадратичной функции

Если известно, что приближающей функцией является квадратичная функция y=ax²+bx+c, то ее коэффициенты a, b, c найдем из условия минимума функции

.

Условия минимума:

Получаем для нахождения неизвестных a, b, c систему трех уравнений, которую решаем методом Гаусса.

Расчетная таблица

N	x	y	x2	x3	x4	x2y	xy
	x1	y1	x12	x13	x14	x12y1	x1y1
… n	x2 ... xn	y2 … yn	x22 … xn2	x23 … xn3	x24 … xn4	x22y2 … xn2yn	x2y2 … xnyn
Σ

Задания. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, некоторой функцией по методу указанному преподавателем.

ВАРИАНТЫ

4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ГАУССА

Существует несколько приемов решения систем линейных уравнений. Один из таких приемов называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных. Этот метод используется и в электронных вычислительных машинах. Ниже описывается способ решения системы линейных уравнений по методу Гаусса с использованием микрокалькуляторов.

Будем рассматривать только систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, но описываемый прием пригоден для решения каждой линейной системы с любым числом неизвестных.

В общем виде система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

(1)

Предположим, что хотя бы один из коэффициентов при неизвестном x₁ отличен от нуля; пусть таким является коэффициент a₁₁. (если , то надо поменять в системе (1) уравнения местами и на первой строке записать уравнение с ненулевым коэффициентом при x₁).

Разделим все члены первого уравнения системы (1) на a₁₁, затем все члены второго уравнения – на a₂₁, все члены третьего уравнения – на a₃₁. Если a₂₁ или a₃₁ равен нулю, то соответствующее уравнение входит в новую систему без изменений.

Затем вычтем из каждого последующего уравнения первое полученное уравнение. В результате получим систему:

(2)

Предположим, что в системе (2) хотя бы один из коэффициентов a^’₂₂ или a^’₃₂ отличен от нуля. Пусть таким является, например, коэффициент a^’₂₂. разделим почленно второе уравнение системы (2) на a^’₂₂, третье – на a^’₃₂. затем из третьего полученного уравнения вычтем второе полученное уравнение. В результате этих преобразований система примет вид:

(3)

Для того, проводить поэтапный контроль за результатами преобразований уравнений, введем новые определения. Число, равное суме всех коэффициентов данного уравнения, включая его свободный член, будем называть строчной суммой. Контрольной суммой будем называть то число, которое на первом этапе совпадает с соответствующей строчной суммой, а на последующих этапах получается из контрольных сумм предыдущего этапа в результате того же преобразования, которое проводится над соответствующим уравнением. Например, если уравнение получается делением предыдущего уравнения на какое-либо число, то и новая контрольная сумма получается из соответствующей предыдущей контрольной суммы делением на это число. Легко видеть, что строчная и контрольная суммы одного и того же уравнения должны быть практически равными. В их записи различие может быть только в запасных знаках.

Строчные суммы обладают свойством, которое используется при контроле:

При замене правых частей системы уравнений соответствующими строчными суммами получается система уравнений такая, что если x₁, x₂, x₃ есть решение первоначальной системы, то x₁+1, x₂+1, x₃+1 будет решение новой системы.

В самом деле, пусть, например, S₁ – строчная сумма первого уравнения, а x₁, x₂, x₃ – решение системы (1), тогда

.

Таким образом, числа удовлетворяют первому уравнению новой системы (1).

Наряду с системами (1), (2), (3), будем иметь в виду еще три системы (1’), (2’), (3’). Левые части параллельных пар систем (1) и (1’), (2) и (2’), (3) и (3’) соответственно совпадают, а правые части систем (1’), (2’), (3’) получаются заменой свободных членов системы (1), (2), (3) соответствующими строчными суммами. Системы (1), (2), (3) эквивалентны между собой; системы (1’), (2’), (3’) – также эквивалентны между собой. Причем система (3’) имеет вид:

(3’)

Используя «обратный ход», из системы (3) последовательно находим x₃, x₂, x₁; параллельно из системы (3’) последовательно находим . Числа должны отличаться на 1 (расхождение в запасных знаках во внимание не принимается).

Все расчеты выразим в виде схемы (см. таблицу 1). Для компактности схемы систему, эквивалентную данной, запишем только при выполнении «обратного хода».

I этап: запись данной системы, вычисление строчных (контрольных) сумм.

II этап: деление каждого уравнения на коэффициент при x₁, вычисление строчных и контрольных сумм.

III этап: вычитание первого уравнения из всех последующих уравнений, вычисление строчных и контрольных сумм.

IV этап: деление 2-го и 3-го уравнения на коэффициент при x₂, вычисление строчных и контрольных сумм.

V этап: вычитание 2-го уравнения из 3-го, вычисление строчных и контрольных сумм.

VI этап: вычисление .

VII этап: вычисление .

VIII этап: вычисление .

Пример. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными с точностью до 0, 001.

Составим схему расчета и контроля (см. таблицу 2).

ТАБЛИЦА 1

СХЕМА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ГАУССА

Прямой ход
Система	Строчные суммы	Контрольные суммы	Этапы
			I
			II
			III
			IV
			V

, где

.

Обратный ход		Контроль	Этапы
			VI     VII   VIII

ТАБЛИЦА 2

-2, 91409 x₃=-14, 68835

x₂+0, 70865 x₃=7, 05703

x₁+0, 35425 x₂+0, 59642 x₃=8, 92528

Ответ: x₁=4, 684, x₂=3, 485, x₃=5, 040.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Численное интегрирование …………………………………………………. 3

1.1. Метод прямоугольников ……………………………………………...… 3

1.2. Метод трапеций …………………………………………………………. 4

1.3. Метод парабол (метод Симпсона) ……………………………………... 5

2. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.. 9

2.1. Уточнение корней методом половинного деления ………………….. 11

2.2. Метод итераций ………………………………………………………... 13

2.3. Метод хорд ……………………………………………………………... 13

2.4. Метод касательных (метод Ньютона) ………………………………... 16

2.5. Комбинированный метод хорд и касательных ………………………. 18

3. Аппроксимация функций ………………………………………………….. 20

3.1. Математическая постановка задачи интерполирования ……………. 20

3.2. Интерполяционный полином Лагранжа ………………………..……. 21

3.3. Линейная интерполяция …………………………………………….… 23

3.4. Метод наименьших квадратов ……………………………………...… 24

3.5. Нахождение параметров линейной функции ……………………...… 26

3.6. Нахождение параметров квадратичной функции................................ 27

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса …………………. 30