Метод Гаусса. Алгоритм метода состоит из двух этапов:

Алгоритм метода состоит из двух этапов:

Прямой ход метода, который заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений, начиная с путем эквивалентных преобразований (т.е. сводим матрицу системы (2.1.1) к треугольному виду):

В случае, если (в противном случае нужно переставить строки) последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i -м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему (2.3.1)

(2.3.1)

где

Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида (2.3.2):

(2.3.2)

Обратный ход метода, состоит в последовательном определении неизвестных по следующим формулам (2.3.3):

(2.3.3)

Один из основных недостатков метода Гаусса связан с тем, что при его реализации накапливается вычислительная погрешность (погрешность выполнения арифметических операций). В книге [Самарский, Гулин “Численные методы”] показано, что для больших систем порядка n число действий умножений и делений близко к .

Для того, чтобы уменьшить рост вычислительной погрешности применяются различные модификации метода Гаусса. Например, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам, в этом случае на каждом этапе прямого хода строки матрицы переставляются таким образом, чтобы диагональный угловой элемент был максимальным. При исключении соответствующего неизвестного из других строк деление будет производиться на наибольший из возможных коэффициентов и следовательно относительная погрешность будет наименьшей.

Существует метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице. В этом случае переставляются не только строки, но и столбцы

Использование модификаций метода Гаусса приводит к усложнению алгоритма увеличению числа операций и соответственно к росту времени счета. Поэтому целесообразность выбора того или иного метода определяется непосредственно программистом.

Выполняемые в методе Гаусса преобразования прямого хода, приведшие матрицу А системы к треугольному виду позволяют вычислить определитель матрицы (2.3.4):

(2.3.4)

Контроль полученных решений можно провести путем их подстановки в исходную СЛАУ и вычисления невязок , разностей между правыми и левыми частями уравнений (2.3.5):

(2.3.5)

При малой погрешности решения величины будут близки к нулю.

Перейдем к рассмотрению итерационных методов.