Общая формула трапеций и ее остаточный член

Рис 8.1. Общая формула трапеций

Для вычисления интеграла разделим промежуток интегрирования [ a, b ] на n равных частей и к каждому из них применим формулу трапеций (8.4).

Положим и обозначим через значения подынтегральной функции в точках x_i тогда: , или

. (8.5)

Геометрически формула (8.5) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.

Oстаточный член общей формулы трапеций (8.5) равен:

где

. (8.6)

Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной на отрезке [a, b] по всем промежуткам

(8.7)

Очевидно, m заключается между наименьшим m₂ и наибольшим M₂ значениями второй производной на отрезке [a, b], т.е. .

В силу непрерывности на отрезке [a, b], она принимает все значения от m₂ до M₂. Значит, существует точка ξ, такая что μ =f''(ξ). Из формул (8.6) и (8.7) получим:

(8.8)

Рис 8.2. Формула Симпсона