Квадратурные формулы

Численное интегрирование и дифференцирование

Численное интегрирование

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Встречаются также и случаи, когда приходится прибегать к формулам приближенного интегрирования даже для таких интегралов, которые могут быть найдены в конечном виде, но такое выражение оказывается слишком сложным. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач, содержащих функции, заданные таблично.

Квадратурные формулы

Наиболее распространенным подходом к численному вычислению интеграла

, (1)

является разбиение отрезка на n равных частей c шагом , интерполирование функции на отрезке (получение интерполяционного многочлена ) и замена в (1) интеграла интегральной суммой:

; . (2)

Соотношения вида (2) называют квадратурными формулами.

В простейших случаях в качестве интерполяционного многочлена берут ступенчатую, кусочно-линейную или кусочно-параболическую функции, а также полином степени для которых квадратурные формулы принимают вид (см. Пример 1 Рисунка 1):

Рисунок 1 – Численной интегрирование и дифференцирование

Формула прямоугольников:

, . (3)

Формула трапеций:

, (4)

Формула Симпсона (n – четное число):

, (5)

метод неопределенных коэффициентов состоит в вычислении определенного интеграла (1) с помощью формулы (2) коэффициенты , которой находятся в результате решения следующей системы уравнений:

, (6)

,

где