Вычисление кратных интегралов

Для вычисления кратных интегралов вида также используются численные методы. В рамках данного учебно-методического пособия ограничимся рассмотрением двойных интегралов . Будем рассматривать неотрицательную непрерывную функцию , заданную на квадрируемом (имеющем площадь, ограниченном) множестве (области интегрирования) плоскости . Определим разбиение множества как его представление в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, . Можно считать, что разбиение области на части , , определяется выбором геометрических фигур, которыми представлены , .

В случае интегрирования функции рассматривались длины частей разбиения отрезка : , , , . В случае интегрирования функции обобщением понятия длины будет площадь части области .

В каждой части , , произвольным образом выберем точку , имеющую координаты . Обозначим , , через . Составим двумерную интегральную сумму . Очевидно, что каждое слагаемое полученной суммы соответствует объему тела с основаниями и высотой .

В разд. 4.1 было показано, что простая (одномерная) интегральная сумма в случае интегрирования функции на отрезке представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников c основаниями, соответствующими длинам частей разбиения отрезка , и с высотами, равными значениям функции в точках , выбранных на основаниях.

Аналогично, двухмерная интегральная сумма численно равна объему ступенчатого тела, составленного из вертикальных столбиков, имеющих части , , области своими основаниями, а значения функции в некоторой принадлежащей им точке равными высотам.

Очевидно, что для заданной области и непрерывной функции можно составить не одну, а бесконечное множество интегральных сумм, потому что область можно разбить на части , , различными способами, а также по-разному выбрать в них точки , . В результате численная величина интегральной суммы зависит от способа разбиения области и от выбора внутренних точек в ее частях , .

Введем понятие диаметра частей – , значение которого определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества . В общем случае диаметром плоской фигуры называется наибольшая из хорд данной фигуры. Будем считать, что область ограничена контуром . Предположим, что части , , изменяются и начинают бесконечно уменьшаться (не только в смысле величины их площади, но и в смысле значений их диаметров), так что даже самый большой из их диаметров бесконечно уменьшается. Это означает, что части , , становятся все более малыми и так как они должны заполнять постоянную площадь внутри контура , то их число должно бесконечно увеличиваться. С дугой стороны, непрерывная функция является ограниченной и для всех точек справедливо неравенство:

,

где – постоянная величина. Отсюда следует, что общий член двухмерной интегральной суммы имеет абсолютную величину, меньшую чем и, значит, бесконечно уменьшается.

Таким образом, когда наибольший из диаметров частей , , бесконечно уменьшается, двухмерная интегральная сумма становится суммой бесконечно увеличивающегося числа слагаемых с бесконечно уменьшающимися значениями. В этих условиях двухмерная интегральная сумма стремится к определенному пределу, всегда одному и тому же, какую бы форму не имели бесконечно уменьшающиеся части , области , и каким бы образом ни выбирались в них точки , .

В рамках настоящего учебно-методического пособия доказательство данного важного предположения не приводится, однако его можно найти в более подробных курсах, посвященных интегральному исчислению.

Предел двухмерной интегральной суммы называется двойным (определенным) интегралом и обозначается следующим образом:

. (*)

Если областью интегрирования является прямоугольник (, ) со сторонами, параллельными осям координат, то для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из рассмотренных в данной главе методов. Например, применение формулы средних прямоугольников при постоянном шаге интегрирования дает следующий результат

,

где и – шаги для отрезков интегрирования на и соответственно по и , а и – средние точки отрезков интегрирования, рис. 4.12.

Рис. 4.12. Вычисление интеграла по прямоугольной области интегрирования.

Заметим, что с повышением кратности интегралов резко возрастает объем вычислений и рассмотренный подход становится неэффективным. Например, если мы разбиваем интервал изменения каждой переменной всего на десять частей, то для вычисления тройного интеграла нам потребуется вычислить сумму тысячи слагаемых, а при вычислении десятикратного интеграла, потребуется сумма, количество слагаемых в которой определяется числом . Вычисление такой суммы затруднительно даже на самых быстродействующих современных компьютерах. В этом случае применяют другие методы численного интегрирования, среди которых особое место занимает метод статистических испытаний (Монте-Карло), разд. 4.8.

Остановимся на общей идее получения формул вычисления двойных интегралов, которая заключается в их приведении к повторным интегралам и последовательном применении формул методов Ньютона-Котеса, например, формулы Симпсона. Пусть требуется вычислить двойной интеграл (*) по прямоугольнику со сторонами, параллельными координатным осям. Разобьем прямоугольник на четыре равных прямоугольника средними линиями и обозначим стороны данных меньших прямоугольников соответственно через и . Значения функции , вычисленные в узловых точках, обозначим соответственно через , , , , и т.д. Результат разбиения прямоугольной области интегрирования представлен на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Разбиение прямоугольной области интегрирования.

Тогда двойной интеграл (*) можно представить в виде

или

, где . (4.13)

К каждому из полученных интегралов, в свою очередь, можно применить формулу Симпсона (4.8). Из (4.13) получим

. (4.14)

С другой стороны

(4.15)

Подставив (4.15) в (4.14), получаем, что исходный интеграл (*) может быть вычислен по формуле

. (4.16)

Таким образом, остается вычислить значения функции в узлах, номера которых отмечены в кружках на рис. 4.13.

Рассмотрим пример. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Принимая и , вычислим значения функции . Результаты приведенны в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Результаты вычисления значений функции .

		2, 5
	1, 000	0, 400	0, 250
0, 5	0, 800	0, 320	0, 200
	0, 500	0, 200	0, 125

Формула (4.16) дает следующий результат:

.

Между тем истинное значение интеграла, рассчитанное аналитически, . Таким образом, абсолютная погрешность составит , а относительная – , хотя значения и довольно велики. Значительно большую точность можно получить, разбив исходный прямоугольник на более мелкие прямоугольники, изменив соответствующим образом и значения коэффициентов.

Основным и неустранимым недостатком приближенной формулы (4.16) является то, что она применима лишь для прямоугольных областей со сторонами, параллельными координатным осям. Применение ее для других областей, например для круга, вызывает уже весьма серьезные затруднения.

Другим способом приближенного вычисления двойных интегралов являются формулы, в которых точки, где следует вычислять значения функции, задаются заранее специальным образом. Подбор данных точек производится так, чтобы полученная формула была точной для всех многочленов некоторой достаточно высокой степени при минимальном количестве этих точек.

Приведем формулу такого рода. Обозначим через , , точки, полярные координаты которых , тогда для единичного круга имеет место следующая формула Люстерника:

. (**)

Таким образом, для приближенного вычисления двойного интеграла по кругу следует вычислить значения функции в семи точках, одна из которых лежит в центре круга. Остальные точки лежат в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса , их расположение представлено на рис.4.14, причем возле каждой точки указан коэффициент, на который нужно умножить значение функции в соответствующей точке.

Рис. 4.14. Область интегрирования, представленная единичным кругом.

Очевидно, что с помощью подстановки легко преобразовать интеграл по любому кругу в интеграл по кругу радиуса 1, после чего для вычисления его значения можно воспользоваться указанной выше формулой Люстерника (**).

Если область интегрирования не прямоугольник и не круг, например,

,

где и – произвольные функции, то для вычисления двойного интеграла требуются другие методы. Приведем общие рассуждения.

Для функции двух переменных рассмотрим случай произвольной области интегрирования , пример представлен на рис. 4.15.

Рис. 4.15. Произвольная область интегрирования .

Заключим область в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, и обозначим его через . Для рассматриваемого интеграла значения и на рис. 4.15 определены следующим образом: , . Введем в рассмотрение функцию

Тогда . Интеграл по области может быть вычислен по одному из описанных выше алгоритмов. При этом точность вычисления интеграла существенно зависит от выбора области и может быть повышена при изменении шага интегрирования по осям. Границы области могут быть описаны с помощью кусочно-линейной аппроксимации. При вычислении значения функции следует различать случаи, когда точка принадлежит и не принадлежит области . Общая идея определения данных случаев будет рассмотрена далее.

Особое место среди методов вычисления кратных интегралов занимают методы Монте-Карло (статистических испытаний), рассматриваемые в разд. 4.8. Изложим идею данных методов в самом общем виде. Пусть область интегрирования двойного интеграла представляет собой не прямоугольник и не круг, тогда заключим ее в прямоугольник, координаты углов которого определяются точками , , , , аналогично рис. 4.15. На отрезках и будем генерировать значения равномерно распределенных случайных величин и , , где – их количество. В результате будет получено точек . Исходя из геометрической вероятности, отношение количества точек, попавших в область , к общему числу точек , умноженное на площадь прямоугольника со сторонами и , будет являться значением искомого интеграла. Заметим, что с ростом числа генерируемых точек точность вычисления значения интеграла будет возрастать, а само количество точек должно быть достаточно велико.

Ключевым является вопрос установления принадлежности генерируемых точек , , области . Аппроксимируем область с помощью отрезков прямых линий, соединяющих некоторые из ее граничных точек, при этом число выбранных точек должно быть достаточно велико. Введем в рассмотрение некоторый полюс, например, начало координат , и каждую генерируемую точку будем соединять с ним прямой линией. Если число пересечений данной линии с отрезками прямых, аппроксимирующих область , четно или равно нулю, то точка не принадлежит области , а если нечетно, – то принадлежит. Приведенные рассуждения проиллюстрированы на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Иллюстрация определения принадлежности точек области .

Приведенные выше рассуждения о способах вычисления двойных интегралов по области интегрирования общего вида (представленной не кругом и не прямоугольником), носят качественный характер. Прикладные вопросы вычисления кратных интегралов по непрямоугольным областям интегрирования в настоящем учебно-методическом пособии рассматриваться не будут.